若函数 $f(x)=-\frac{x}{x+2}$，则 $f^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) =$______.

设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，当 $x \leqslant -1$ 时，$y = f(x)$ 的图像是经过点 $(-2,0)$，斜率为 1 的射线. 又在 $y = f(x)$ 的图像中有一部分是顶点在 $(0,2)$，且过点 $(-1,1)$ 的一段抛物线. 试写出函数 $f(x)$ 的表达式，并作出其图像.

有一批影碟机（VCD）原销售价为每台 $800\text{ 元}$，在甲乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 $780\text{ 元}$，买两台每台单价都为 $760\text{ 元}$，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 $20\text{ 元}$，但每台最低价不能低于 $440\text{ 元}$；乙商场一律都按原价的 $75\%$ 销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

如图所示， $A$，$F$ 分别是椭圆 $\frac{(y + 1)^2}{16} +\frac{(x - 1)^2}{12} = 1$ 的一个顶点与一个焦点，位于 $x$ 轴的正半轴上的动点 $T(t,0)$ 与 $F$ 的连线交射线 $OA$ 于 $Q$. 求：

(1) 点 $A$，$F$ 的坐标及直线 $TQ$ 的方程； (2) $\triangle OTQ$ 的面积 $S$ 与 $t$ 的函数关系式 $S = f(t)$ 及该函数的最小值； (3) 写出 $S = f(t)$ 的单调递增区间，并证明之.