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07
数列
★☆☆☆☆
若数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项为
1
n
(
n
+
1
)
\frac{1}{n(n + 1)}
n
(
n
+
1
)
1
（
n
∈
N
n \in \mathbf{N}
n
∈
N
），则
lim
n
→
∞
(
a
1
+
n
2
a
n
)
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_{1} + n^{2} a_{n}) =
n
→
∞
lim
(
a
1
+
n
2
a
n
)
=
______.
2000 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题
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20
数列
★★★☆☆
已知
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
是等差数列，
a
1
=
−
393
a_{1} = -393
a
1
=
−
393
，
a
2
+
a
3
=
−
768
a_{2} + a_{3} = -768
a
2
+
a
3
=
−
768
，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
是公比为
q
q
q
（
0
<
q
<
1
0 < q < 1
0
<
q
<
1
）的无穷等比数列，
b
1
=
2
b_{1} = 2
b
1
=
2
，且
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的各项和为 20.
(1) 写出
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
和
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的通项公式； (2) 试求满足下列不等式的正整数
m
m
m
：
a
m
+
1
+
a
m
+
2
+
⋯
+
a
2
m
m
+
1
⩽
−
160
b
2
\displaystyle \frac{a_{m + 1} + a_{m + 2} + \cdots + a_{2m}}{m + 1} \leqslant -160b_{2}
m
+
1
a
m
+
1
+
a
m
+
2
+
⋯
+
a
2
m
⩽
−
160
b
2
.
2000 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题
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