如图，$\angle BAD = 90^{\circ}$ 的等腰直角三角形 $ABD$ 与正三角形 $CBD$ 所在平面互相垂直，$E$ 是 $BC$ 的中点，则 $AE$ 与平面 $BCD$ 所成角的大小为______.

若两个长方体的长，宽，高分别为 $5\mathrm{~cm}$，$4\mathrm{~cm}$，$3\mathrm{~cm}$，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为______$\mathrm{cm}$.

四棱锥 $P$—$ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是一个平行四边形，$\overrightarrow{AB}=\{2,-1,-4\}$，$\overrightarrow{AD}=\{4,2,0\}$，$\overrightarrow{AP}=\{-1,2,-1\}$.

(1) 求证：$PA \perp$ 底面 $ABCD$； (2) 求四棱锥 $P$—$ABCD$ 的体积； (3) 对于向量 $\boldsymbol{a}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\}$，$\boldsymbol{b}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}$，$\boldsymbol{c}=\{x_{3},y_{3},z_{3}\}$，定义一种运算：$\displaystyle (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = x_{1} y_{2} z_{3} + x_{2} y_{3} z_{1} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{3} z_{2} - x_{2} y_{1} z_{3} - x_{3} y_{2} z_{1}$. 试计算 $(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP}$ 的绝对值的值；说明其与四棱锥 $P$—$ABCD$ 体积的关系，并由此猜想向量这一运算 $(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP}$ 的绝对值的几何意义.