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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，B={x∣x=n2,n∈A}B = \{x \mid x = n^2, n \in A\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{1,4}\{1, 4\}
B.
{2,3}\{2, 3\}
C.
{9,16}\{9, 16\}
D.
{1,2}\{1, 2\}

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
1+2i(1−i)2=\frac{1 + 2\mathrm{i}}{(1 - \mathrm{i})^2} =（ ）
A.
−1−12i-1 - \frac{1}{2}\mathrm{i}
B.
−1+12i-1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
1+12i1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
1−12i1 - \frac{1}{2}\mathrm{i}

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★★☆☆☆
从 11，22，33，44 中任取 22 个不同的数，则取出的 22 个数之差的绝对值为 22 的概率是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
14\frac{1}{4}
D.
16\frac{1}{6}

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04解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0） 的离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2}，则 CC 的渐近线方程为（ ）
A.
y=±14xy = \pm \frac{1}{4} x
B.
y=±13xy = \pm \frac{1}{3} x
C.
y=±12xy = \pm \frac{1}{2} x
D.
y=±xy = \pm x

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知命题 pp：∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，2x<3x2^x < 3^x；命题 qq：∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，x3=1−x2x^3 = 1 - x^2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.
p∧qp \wedge q
B.
¬p∧q\neg p \land q
C.
p∧¬qp \wedge \neg q
D.
¬p∧¬q\neg p \land \neg q

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06数列★★☆☆☆
设首项为 11，公比为 23\frac{2}{3} 的等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
Sn=2an−1S_{n} = 2a_{n} - 1
B.
Sn=3an−2S_{n} = 3a_{n} - 2
C.
Sn=4−3anS_{n} = 4 - 3a_{n}
D.
Sn=3−2anS_{n} = 3 - 2a_{n}

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07函数与初等函数★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 t∈[−1,3]t \in [-1,3]，则输出的 ss 属于（ ）
A.
[−3,4][-3, 4]
B.
[−5,2][-5, 2]
C.
[−4,3][-4,3]
D.
[−2,5][-2,5]

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08解析几何★★☆☆☆
OO 为坐标原点，FF 为抛物线 C:y2=42xC: y^{2} = 4\sqrt{2} x 的焦点，PP 为 CC 上一点，若 ∣PF∣=42|PF| = 4\sqrt{2}，则 △POF\triangle POF 的面积为（ ）
A.
22
B.
222\sqrt{2}
C.
232\sqrt{3}
D.
44

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09三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=(1−cos⁡x)sin⁡xf(x) = (1 - \cos x)\sin x 在 [−π,π]\left[-\pi,\pi\right] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

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10三角函数★★☆☆☆
已知锐角三角形 ABCABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，23cos⁡2A+cos⁡2A=023\cos^{2} A + \cos 2A = 0，a=7a = 7，c=6c = 6，则 b=b =（ ）
A.
1010
B.
99
C.
88
D.
55

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11立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
16+8π16 + 8\pi
B.
8+8π8 + 8\pi
C.
16+16π16 + 16\pi
D.
8+16π8 + 16\pi

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={−x2+2x,x⩽0,ln⁡(x+1),x>0,f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leqslant 0,\\ \ln (x + 1), & x > 0, \end{cases}
若 ∣f(x)∣⩾ax|f(x)| \geqslant ax，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,0]\left(-\infty,0\right]
B.
(−∞,1]\left(-\infty,1\right]
C.
[−2,1]\left[-2,1\right]
D.
[−2,0]\left[-2,0\right]

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13平面向量★★☆☆☆
已知两个单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，c=ta+(1−t)b\boldsymbol{c} = t\boldsymbol{a} + (1 - t)\boldsymbol{b}，若 b⋅c=0\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0，则 t=t =______.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{1⩽x⩽3,−1⩽x−y⩽0,\begin{cases} 1 \leqslant x \leqslant 3,\\ -1 \leqslant x - y \leqslant 0, \end{cases}
，则 z=2x−yz = 2x - y 的最大值为______.

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15立体几何初步★★☆☆☆
已知 HH 是球 OO 的直径 ABAB 上一点，AH:HB=1:2AH:HB = 1:2，AB⊥AB \perp 平面 α\alpha，HH 为垂足，平面 α\alpha 截球 OO 所得截面的面积为 π\pi，则球 OO 的表面积为______.

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16三角函数★★★☆☆
设当 x=θx = \theta 时，函数 f(x)=sin⁡x−2cos⁡xf(x) = \sin x - 2\cos x 取得最大值，则 cos⁡θ=\cos \theta =______.

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17数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 S3=0S_{3} = 0，S5=−5S_{5} = -5.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {1a2n−1a2n+1}\left\{\frac{1}{a_{2n-1}a_{2n+1}}\right\} 的前 nn 项和.

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18概率与统计★★☆☆☆
为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 2020 位患者服用 A 药，2020 位患者服用 B 药，这 4040 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h\mathrm{h}）. 试验的观测结果如下：
服用 A 药的 2020 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.60.6 1.21.2 2.72.7 1.51.5 2.82.8 1.81.8 2.22.2 2.32.3 3.23.2 3.53.5 2.52.5 2.62.6 1.21.2 2.72.7 1.51.5 2.92.9 3.03.0 3.13.1 2.32.3 2.42.4
服用 B 药的 2020 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.23.2 1.71.7 1.91.9 0.80.8 0.90.9 2.42.4 1.21.2 2.62.6 1.31.3 1.41.4 1.61.6 0.50.5 1.81.8 0.60.6 2.12.1 1.11.1 2.52.5 1.21.2 2.72.7 0.50.5
(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药B药
88 55 55 22 221111 22 22 33 44 66 77 88 99
99 88 77 77 66 55 44 33 33 222211 44 55 66 77
55 22 11 003322

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，CA=CBCA = CB，AB=AA1AB = AA_{1}，∠BAA1=60∘\angle BAA_{1} = 60^{\circ}.
(1) 证明：AB⊥A1CAB \perp A_{1}C (2) 若 AB=CB=2AB = CB = 2，A1C=6A_{1}C = \sqrt{6}，求三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的体积.

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex(ax+b)−x2−4xf(x) = \mathrm{e}^{x}(ax + b) - x^{2} - 4x，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4y = 4x + 4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并求 f(x)f(x) 的极大值.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知圆 M:(x+1)2+y2=1M: (x + 1)^2 + y^2 = 1，圆 N:(x−1)2+y2=9N: (x - 1)^2 + y^2 = 9，动圆 PP 与圆 MM 外切并与圆 NN 内切，圆心 PP 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) ll 是与圆 PP，圆 MM 都相切的一条直线，ll 与曲线 CC 交于 AA，BB 两点，当圆 PP 的半径最长时，求 ∣AB∣|AB|.

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22解析几何★★★★☆
如图，直线 ABAB 为圆的切线，切点为 BB，点 CC 在圆上，∠ABC\angle ABC 的角平分线 BEBE 交圆于点 EE，DBDB 垂直 BEBE 交圆于 DD.
(1) 证明： DB=DCDB = DC； (2) 设圆的半径为 11，BC=3BC = \sqrt{3}，延长 CECE 交 ABAB 于点 FF，求 △BCF\triangle BCF 外接圆的半径.

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=4+5cos⁡t,y=5+5sin⁡t,\begin{cases} x = 4 + 5\cos t,\\ y = 5 + 5\sin t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin\theta.
(1) 把 C1C_1 的参数方程化为极坐标方程； (2) 求 C1C_{1} 与 C2C_{2} 交点的极坐标 （ρ⩾0,0⩽θ<2π\rho \geqslant 0, 0 \leqslant \theta < 2\pi）.

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣2x−1∣+∣2x+a∣f(x) = |2x - 1| + |2x + a|，g(x)=x+3g(x) = x + 3.
(1) 当 a=−2a = -2 时，求不等式 f(x)<g(x)f(x) < g(x) 的解集； (2) 设 a>−1a > -1，且当 x∈[−a2,12)x \in \left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right) 时，f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)，求 aa 的取值范围.

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