已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{1} > 1$，且 $6S_{n} = (a_{n} + 1)(a_{n} + 2)$，$n \in \mathbf{N}_{+}$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n}(2^{b_{n}}-1)=1$，并记 $T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求证： $3T_{n}+1>\log_{2}(a_{n}+3)$，$n\in\mathbf{N}_{+}$.