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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={4,5,7,9}A = \{4, 5, 7, 9\}，B={3,4,7,8,9}B = \{3, 4, 7, 8, 9\}，全集 U=A∪BU = A \cup B，则集合 ∁U(A∩B)\complement_U\left(A \cap B\right) 中的元素共有（ ）
A.
3 个3\text{ 个}
B.
4 个4\text{ 个}
C.
5 个5\text{ 个}
D.
6 个6\text{ 个}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 z‾1+i=2+i\frac{\overline{z}}{1 + \mathrm{i}} = 2 + \mathrm{i}，则复数 z=z =（ ）
A.
−1+3i-1 + 3\mathrm{i}
B.
1−3i1 - 3\mathrm{i}
C.
3+i3 + \mathrm{i}
D.
3−i3 - \mathrm{i}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+1x−1∣<1\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right| < 1 的解集为（ ）
A.
{x∣0<x<1}∪{x∣x>1}\{x\mid 0 < x < 1\} \cup \{x\mid x > 1\}
B.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}
C.
{x∣−1<x<0}\{x\mid -1 < x < 0\}
D.
{x∣x<0}\{x\mid x < 0\}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的渐近线与抛物线 y=x2+1y = x^2 + 1 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
22
C.
5\sqrt{5}
D.
6\sqrt{6}

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
甲组有 5 名5\text{ 名}男同学，3 名3\text{ 名}女同学；乙组有 6 名6\text{ 名}男同学，2 名2\text{ 名}女同学. 若从甲，乙两组中各选出 2 名2\text{ 名}同学，则选出的 4 人4\text{ 人}中恰有 1 名1\text{ 名}女同学的不同选法共有（ ）
A.
150 种150\text{ 种}
B.
180 种180\text{ 种}
C.
300 种300\text{ 种}
D.
345 种345\text{ 种}

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06平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是单位向量，且 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 (a−c)⋅(b−c)\left(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}\right) \cdot \left(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}\right) 的最小值为（ ）
A.
−2-2
B.
2−2\sqrt{2} - 2
C.
−1-1
D.
1−21 - \sqrt{2}

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07立体几何初步★★★☆☆
已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的侧棱与底面边长都相等，A1A_{1} 在底面 ABCABC 上的射影为 BCBC 的中点，则异面直线 ABAB 与 CC1CC_{1} 所成的角的余弦值为（ ）
A.
34\frac{\sqrt{3}}{4}
B.
54\frac{\sqrt{5}}{4}
C.
74\frac{\sqrt{7}}{4}
D.
34\frac{3}{4}

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08三角函数★★☆☆☆
如果函数 y=3cos⁡(2x+φ)y = 3\cos\left(2x + \varphi\right) 的图象关于点 (4π3,0)\left(\frac{4\pi}{3}, 0\right) 中心对称，那么 ∣φ∣|\varphi| 的最小值为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

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09导数及其应用★★☆☆☆
已知直线 y=x+1y = x + 1 与曲线 y=ln⁡(x+a)y = \ln\left(x + a\right) 相切，则 aa 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
−1-1
D.
−2-2

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10立体几何初步★★★☆☆
已知二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 为 60∘60^{\circ}，动点 PP，QQ 分别在面 α\alpha，β\beta 内，PP 到 β\beta 的距离为 3\sqrt{3}，QQ 到 α\alpha 的距离为 232\sqrt{3}，则 PP，QQ 两点之间距离的最小值为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
232\sqrt{3}
D.
44

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11函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，若 f(x+1)f(x + 1) 与 f(x−1)f(x - 1) 都是奇函数，则（ ）
A.
f(x)f(x) 是偶函数
B.
f(x)f(x) 是奇函数
C.
f(x)=f(x+2)f(x) = f(x + 2)
D.
f(x+3)f(x + 3) 是奇函数

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12解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x22+y2=1C: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 的右焦点为 FF，右准线为 ll，点 A∈lA \in l，线段 AFAF 交 CC 于点 BB. 若 FA→=3FB→\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{FB}，则 ∣AF∣=\left|AF\right| =（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
3\sqrt{3}
D.
33

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−y)10(x - y)^{10} 的展开式中，x7y3x^{7}y^{3} 的系数与 x3y7x^{3}y^{7} 的系数之和等于______.

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14数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S9=72S_{9} = 72，则 a2+a4+a9=a_{2} + a_{4} + a_{9} =______.

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15立体几何初步★★★☆☆
直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的各顶点都在同一球面上. 若 AB=AC=AA1=2AB = AC = AA_{1} = 2，∠BAC=120∘\angle BAC = 120^{\circ}，则此球的表面积等于______.

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16三角函数★★★☆☆
若 π4<x<π2\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}，则函数 y=tan⁡2xtan⁡3xy = \tan 2x \tan^3 x 的最大值为______.

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边长分别为 aa，bb，cc，已知 a2−c2=2ba^2 - c^2 = 2b，且 sin⁡Acos⁡C=3cos⁡Asin⁡C\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C，求 bb.

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，AD=2AD = \sqrt{2}，DC=SD=2DC = SD = 2，点 MM 在侧棱 SCSC 上，∠ABM=60∘\angle ABM = 60^\circ.
(1) 证明：MM 是侧棱 SCSC 的中点； (2) 求二面角 S−AM−BS - AM - B 的大小.

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局3\text{ 局}者获得这次比赛的胜利，比赛结束. 假设在一局中，甲获胜的概率为 0.60.6，乙获胜的概率为 0.40.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局2\text{ 局}中，甲，乙各胜 1 局1\text{ 局}.
(1) 求甲获得这次比赛胜利的概率； (2) 设 ξ\xi 表示从第 3 局3\text{ 局}开始到比赛结束所进行的局数，求 ξ\xi 的分布列及数学期望.

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20数列★★★★☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，an+1=(1+1n)an+n+12na_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)a_{n} + \frac{n+1}{2^{n}}.
(1) 设 bn=annb_{n}=\frac{a_{n}}{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

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21解析几何★★★★☆
如图，已知抛物线 E:y2=xE: y^{2} = x 与圆 M:(x−4)2+y2=r2M: \left(x - 4\right)^{2} + y^{2} = r^{2} （r>0r > 0）相交于 AA，BB，CC，DD 四个点.
(1) 求 rr 的取值范围； (2) 当四边形 ABCDABCD 的面积最大时，求对角线 ACAC，BDBD 的交点 PP 坐标.

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+3bx2+3cxf(x) = x^3 + 3bx^2 + 3cx 有两个极值点 x1x_1，x2x_2，且 x1∈[−1,0]x_1 \in [-1, 0]，x2∈[1,2]x_2 \in [1, 2].
(1) 求 bb，cc 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 (b,c)(b, c) 的区域； (2) 证明：−10⩽f(x2)⩽−12-10 \leqslant f(x_{2}) \leqslant -\frac{1}{2}.

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