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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣−3⩽x⩽1}A = \{x \mid -3 \leqslant x \leqslant 1\}，B={x∣∣x∣⩽2}B = \{x \mid |x| \leqslant 2\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{x∣−2⩽x⩽1}\{x\mid -2\leqslant x\leqslant 1\}
B.
{x∣0⩽x⩽1}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−3⩽x⩽2}\{x\mid -3\leqslant x\leqslant 2\}
D.
{x∣1⩽x⩽2}\{x\mid 1\leqslant x\leqslant 2\}

2006 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1+a3+a5=9a_1 + a_3 + a_5 = 9，a6=9a_6 = 9，则这个数列的前 66 项和等于（ ）
A.
1212
B.
2424
C.
3636
D.
4848

2006 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩾2,y⩾3x−6.\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \geqslant 2,\\ y \geqslant 3x - 6. \end{cases}
，则目标函数 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
99

2006 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 P=log⁡23P = \log_2 3，Q=log⁡32Q = \log_3 2，R=log⁡2(log⁡32)R = \log_2(\log_3 2)，则（ ）
A.
R<Q<PR < Q < P
B.
P<R<QP < R < Q
C.
Q<R<PQ < R < P
D.
R<P<QR < P < Q

2006 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 α\alpha，β∈(−π2,π2)\beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)，那么“α<β\alpha < \beta”是“tan⁡α<tan⁡β\tan \alpha < \tan \beta”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x2+1+1y = \sqrt{x^2 + 1} + 1（x<0x < 0）的反函数是（ ）
A.
y=x2−2xy = \sqrt{x^2 - 2x}（x<0x < 0）
B.
y=−x2−2xy = -\sqrt{x^2 - 2x}（x<0x < 0）
C.
y=x2−2xy = \sqrt{x^2 - 2x}（x>2x > 2）
D.
y=−x2−2xy = -\sqrt{x^2 - 2x}（x>2x > 2）

2006 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若 ll 为一条直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
① α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ⇒α⊥β\beta \perp \gamma \Rightarrow \alpha \perp \beta； ② α⊥γ\alpha \perp \gamma，β∥γ⇒α⊥β\beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \perp \beta； ③ l⊥αl \perp \alpha，l⊥β⇒α⊥βl \perp \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta.
其中结论是（ ）
A.
00个
B.
11个
C.
22个
D.
33个

2006 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
椭圆的中心为点 E(−1,0)E(-1,0)，它的一个焦点为 F(−3,0)F(-3,0)，相应于焦点 FF 的准线方程为 x=−72x = -\frac{7}{2}，则这个椭圆的方程是（ ）
A.
2(x−1)221+2y23=1\frac{2(x - 1)^2}{21} + \frac{2y^2}{3} = 1
B.
2(x+1)221+2y23=1\frac{2(x + 1)^2}{21} + \frac{2y^2}{3} = 1
C.
(x−1)25+y2=1\frac{(x - 1)^2}{5} + y^2 = 1
D.
(x+1)25+y2=1\frac{(x + 1)^2}{5} + y^2 = 1

2006 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=asin⁡x−bcos⁡xf(x) = a\sin x - b\cos x（aa，bb 为常数，a≠0a \neq 0，x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象关于直线 x=π4x = \frac{\pi}{4} 对称，则函数 y=f(3π4−x)y = f\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) 是（ ）
A.
偶函数且它的图象关于点 (π,0)(\pi, 0) 对称
B.
偶函数且它的图象关于点 (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right) 对称
C.
奇函数且它的图象关于点 (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right) 对称
D.
奇函数且它的图象关于点 (π,0)(\pi, 0) 对称

2006 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=ax(ax−3a2−1)f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1)（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）在区间 [0,+∞)[0,+\infty) 上是增函数，那么实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0, \frac{2}{3}\right]
B.
[33,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)
C.
(1,3](1, \sqrt{3}]
D.
[32,+∞)\left[\frac{3}{2}, +\infty\right)

2006 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)7\left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^7 的二项展开式中 xx 的系数是______.（用数字作答）

2006 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，且 a=(3,3)\boldsymbol{a} = (3, 3)，2b−a=(−1,1)2\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = (-1, 1)，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=1AB = 1. 若二面角 C−AB−C1C - AB - C_{1} 的大小为 60∘60^{\circ}，则点 CC 到平面 ABC1ABC_{1} 的距离为______.

2006 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
若半径为 11 的圆分别与 yy 轴的正半轴和射线 y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3}x（x⩾0x \geqslant 0）相切，则这个圆的方程为______.

2006 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
某公司一年购买某种货物 400 吨400\text{ 吨}，每次都购买 x 吨x\text{ 吨}，运费为 4 万元/次4\text{ 万元/次}，一年的总存储费用为 4x 万元4x\text{ 万元}，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x=x=______吨\text{吨}.

2006 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
用数字 00，11，22，33，44 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 11，22 相邻的偶数有______个\text{个}.（用数字作答）

2006 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 tan⁡α+cot⁡α=52\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2}，α∈(π4,π2)\alpha \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)，求 cos⁡2α\cos 2\alpha 和 sin⁡(2α+π4)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right) 的值.

2006 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.90.9，乙机床产品的正品率是 0.950.95.
(1) 从甲机床生产的产品中任取 33 件，求其中恰有 22 件正品的概率（用数字作答）； (2) 从甲，乙两台机床生产的产品中各任取 11 件，求其中至少有 11 件正品的概率（用数字作答）.

2006 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，点 OO 是矩形 ABCDABCD 的对角线的交点，面 CDECDE 是等边三角形，棱 EF∥BCEF \parallel BC 且 EF=12BCEF = \frac{1}{2}BC.
(1) 证明：FO∥FO \parallel 平面 CDECDE； (2) 设 BC=3CDBC = \sqrt{3}CD，证明：EO⊥EO \perp 平面 CDFCDF.

2006 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=4x3−3x2cos⁡θ+132f(x) = 4x^{3} - 3x^{2}\cos \theta + \frac{1}{32}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，θ\theta 为参数，且 0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}.
(1) 当 cos⁡θ=0\cos\theta = 0 时，判断函数 f(x)f(x) 是否有极值； (2) 要使函数 f(x)f(x) 的极小值大于零，求参数 θ\theta 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 θ\theta，函数 f(x)f(x) 在区间 (2a−1,a)(2a - 1, a) 内都是增函数，求实数 aa 的取值范围.

2006 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=x2=1x_1 = x_2 = 1，并且 xn+1xn=λxnxn−1\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lambda \frac{x_n}{x_{n-1}}（λ\lambda 为非零参数，n=2n = 2，33，44，…\dots）.
(1) 若 x1x_1，x3x_3，x5x_5 成等比数列，求参数 λ\lambda 的值； (2) 设 0<λ<10 < \lambda < 1，常数 k∈N∗k \in \mathbf{N}^* 且 k⩾3k \geqslant 3，证明：x1+kx1+x2+kx2+⋯+xn+kxn<λk1−λk\frac{x_{1+k}}{x_1} + \frac{x_{2+k}}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n+k}}{x_n} < \frac{\lambda^k}{1 - \lambda^k}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2006 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2}，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，MM 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 F1M→⋅F2M→=−14\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{F_2M} = -\frac{1}{4}.
(1) 求双曲线的方程； (2) 设 A(m,0)A(m,0) 和 B(1m,0)B\left(\frac{1}{m},0\right)（0<m<10 < m < 1）是 xx 轴上的两点，过点 AA 作斜率不为 00 的直线 ll，使得 ll 交双曲线于 CC，DD 两点，作直线 BCBC 交双曲线于另一点 EE. 证明：直线 DEDE 垂直于 xx 轴.

2006 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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