如果函数 $f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1)$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数，那么实数 $a$ 的取值范围是（ ）

已知函数 $f(x) = 4x^{3} - 3x^{2}\cos \theta + \frac{1}{32}$，其中 $x \in \mathbf{R}$，$\theta$ 为参数，且 $0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$.

(1) 当 $\cos\theta = 0$ 时，判断函数 $f(x)$ 是否有极值； (2) 要使函数 $f(x)$ 的极小值大于零，求参数 $\theta$ 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 $\theta$，函数 $f(x)$ 在区间 $(2a - 1, a)$ 内都是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.