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02
数列
★★☆☆☆
设
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是等差数列，
a
1
+
a
3
+
a
5
=
9
a_1 + a_3 + a_5 = 9
a
1
+
a
3
+
a
5
=
9
，
a
6
=
9
a_6 = 9
a
6
=
9
，则这个数列的前
6
6
6
项和等于（ ）
A.
12
12
12
B.
24
24
24
C.
36
36
36
D.
48
48
48
2006 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题
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21
数列
★★★★★
已知数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{
x
n
}
满足
x
1
=
x
2
=
1
x_1 = x_2 = 1
x
1
=
x
2
=
1
，并且
x
n
+
1
x
n
=
λ
x
n
x
n
−
1
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lambda \frac{x_n}{x_{n-1}}
x
n
x
n
+
1
=
λ
x
n
−
1
x
n
（
λ
\lambda
λ
为非零参数，
n
=
2
n = 2
n
=
2
，
3
3
3
，
4
4
4
，
…
\dots
…
）.
(1) 若
x
1
x_1
x
1
，
x
3
x_3
x
3
，
x
5
x_5
x
5
成等比数列，求参数
λ
\lambda
λ
的值； (2) 设
0
<
λ
<
1
0 < \lambda < 1
0
<
λ
<
1
，常数
k
∈
N
∗
k \in \mathbf{N}^*
k
∈
N
∗
且
k
⩾
3
k \geqslant 3
k
⩾
3
，证明：
x
1
+
k
x
1
+
x
2
+
k
x
2
+
⋯
+
x
n
+
k
x
n
<
λ
k
1
−
λ
k
\frac{x_{1+k}}{x_1} + \frac{x_{2+k}}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n+k}}{x_n} < \frac{\lambda^k}{1 - \lambda^k}
x
1
x
1
+
k
+
x
2
x
2
+
k
+
⋯
+
x
n
x
n
+
k
<
1
−
λ
k
λ
k
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
2006 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题
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