已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = pn^{2} - 2n + q$（$p\in\mathbf{R}$，$q\in\mathbf{R}$），$n \in \mathbf{N}_{+}$.

(1) 求 $q$ 的值； (2) 若 $a_{1}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项为 $18$，$b_{n}$ 满足 $a_{n} = 2 \log_{2} b_{n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.