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01三角函数★☆☆☆☆
cos⁡300∘=\cos 300^{\circ} =（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，集合 M={1,4}M = \{1, 4\}，N={1,3,5}N = \{1, 3, 5\}，则 N∩(∁UM)=N \cap (\complement_U M) =（ ）
A.
{1,3}\{1,3\}
B.
{1,5}\{1, 5\}
C.
{3,5}\{3, 5\}
D.
{4,5}\{4, 5\}

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03不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽1,x+y⩾0,x−y−2⩽0,\begin{cases} y \leqslant 1,\\ x + y \geqslant 0,\\ x - y - 2 \leqslant 0, \end{cases}
则 z=x−2yz = x - 2y 的最大值为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

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04数列★★☆☆☆
已知各项均为正数的等比数列 {an}\{a_{n}\}，a1a2a3=5a_{1}a_{2}a_{3} = 5，a7a8a9=10a_{7}a_{8}a_{9} = 10，则 a4a5a6=a_{4}a_{5}a_{6} =（ ）
A.
525 \sqrt{2}
B.
77
C.
66
D.
424 \sqrt{2}

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−x)4(1−x)3\left(1-x\right)^{4}\left(1-\sqrt{x}\right)^{3} 的展开式中 x2x^{2} 的系数是（ ）
A.
−6-6
B.
−3-3
C.
00
D.
33

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06立体几何初步★★☆☆☆
直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=AA1AB = AC = AA_{1}，则异面直线 BA1BA_{1} 与 AC1AC_{1} 所成的角等于（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
90∘90^{\circ}

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣f(x)=|\lg x|. 若 a≠ba \neq b 且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则 a+ba+b 的取值范围是（ ）
A.
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)
B.
[1,+∞)\left[1,+\infty\right)
C.
(2,+∞)\left(2,+\infty\right)
D.
[2,+∞)\left[2,+\infty\right)

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08解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 C:x2−y2=1C: x^{2} - y^{2} = 1 的左，右焦点，点 PP 在 CC 上，∠F1PF2=60∘\angle F_{1}PF_{2} = 60^{\circ}，则 ∣PF1∣⋅∣PF2∣=|PF_{1}| \cdot |PF_{2}| =（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

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09立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，BB1BB_{1} 与平面 ACD1ACD_{1} 所成角的余弦值为（ ）
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
63\frac{\sqrt{6}}{3}

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a=log⁡32a = \log_3 2，b=ln⁡2b = \ln 2，c=5−12c = 5^{-\frac{1}{2}}，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
b<c<ab < c < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
c<b<ac < b < a

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11平面向量★★★☆☆
已知圆 OO 的半径为 11，PAPA，PBPB 为该圆的两条切线，AA，BB 为两切点，那么 PA→⋅PB→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 的最小值为（ ）
A.
−4+2-4 + \sqrt{2}
B.
−3+2-3 + \sqrt{2}
C.
−4+22-4 + 2\sqrt{2}
D.
−3+22-3 + 2\sqrt{2}

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12立体几何初步★★★★☆
已知在半径为 22 的球面上有 AA，BB，CC，DD 四点，若 AB=CD=2AB = CD = 2，则四面体 ABCDABCD 的体积的最大值为（ ）
A.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
B.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
C.
232\sqrt{3}
D.
833\frac{8\sqrt{3}}{3}

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13不等式★★☆☆☆
不等式 x−2x2+3x+2>0\frac{x - 2}{x^2 + 3x + 2} > 0 的解集是______.

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14三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为第二象限的角，sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，则 tan⁡2α=\tan 2\alpha =______.

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设 AA 类选修课 3 门3\text{ 门}，BB 类选修课 4 门4\text{ 门}，一位同学从中共选 3 门3\text{ 门}，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有______种\text{种}.

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16解析几何★★★☆☆
已知 FF 是椭圆 CC 的一个焦点，BB 是短轴的一个端点，线段 BFBF 的延长线交 CC 于点 DD，且 BF→=2FD→\overrightarrow{BF} = 2\overrightarrow{FD}，则 CC 的离心率为______.

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17数列★★☆☆☆
记等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项的和为 SnS_{n}，设 S3=12S_{3} = 12，且 2a12a_{1}，a2a_{2}，a3+1a_{3} + 1 成等比数列，求 SnS_{n}.

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18三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB 及其对边 aa，bb 满足 a+b=acot⁡A+bcot⁡Ba + b = a \cot A + b \cot B，求内角 CC.

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19概率与统计★★★☆☆
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审. 若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.50.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.30.3. 各专家独立评审.
(1) 求投到该杂志的 1 篇1\text{ 篇}稿件被录用的概率. (2) 求投到该杂志的 4 篇4\text{ 篇}稿件中，至少有 2 篇2\text{ 篇}被录用的概率.

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20立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AD⊥DCAD \perp DC，AB=AD=1AB = AD = 1，DC=SD=2DC = SD = 2，EE 为棱 SBSB 上的一点，平面 EDC⊥EDC \perp 平面 SBCSBC.
(1) 证明：SE=2EBSE = 2EB. (2) 求二面角 A−DE−CA - DE - C 的大小.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=3ax4−2(3a+1)x2+4xf(x) = 3ax^4 - 2(3a + 1)x^2 + 4x.
(1) 当 a=16a = \frac{1}{6} 时，求 f(x)f(x) 的极值. (2) 若 f(x)f(x) 在 (−1,1)\left(-1,1\right) 上是增函数，求 aa 的取值范围.

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22解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，过点 K(−1,0)K(-1,0) 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，点 AA 关于 xx 轴的对称点为 DD.
(1) 证明：点 FF 在直线 BDBD 上. (2) 设 FA→⋅FB→=89\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = \frac{8}{9}，求 △BDK\triangle BDK 的内切圆 MM 的方程.

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