设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交于直线 $m$，直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内，直线 $b$ 在平面 $\beta$ 内，且 $b \perp m$，则 “$\alpha \perp \beta$” 是 “$a \perp b$” 的（ ）

某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是______.

平面图形 $ABB_{1}A_{1}C_{1}C$ 如图1所示，其中 $BB_{1}C_{1}C$ 是矩形，$BC = 2$，$BB_{1} = 4$，$AB = AC = \sqrt{2}$，$A_{1}B_{1} = A_{1}C_{1} = \sqrt{5}$. 现将该平面图形分别沿 $BC$ 和 $B_{1}C_{1}$ 折叠，使 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 所在平面都与平面 $BB_{1}C_{1}C$ 垂直，再分别连接 $A_{1}A$，$A_{1}B$，$A_{1}C_{1}$ 得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.

(1) 证明： $AA_{1} \perp BC$. (2) 求 $AA_{1}$ 的长. (3) 求二面角 $A - BC - A_{1}$ 的余弦值.