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01三角函数★☆☆☆☆
sin⁡210∘=\sin 210^{\circ} =（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
−12-\frac{1}{2}

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = |\sin x| 的一个单调递增区间是（ ）
A.
(−π4,π4)\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)
B.
(π4,3π4)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)
C.
(π,3π2)\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)
D.
(3π2,2π)\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 1+2iz=i\frac{1 + 2\mathrm{i}}{z} = \mathrm{i}，则 z=z =（ ）
A.
−2+i-2 + \mathrm{i}
B.
−2−i-2 - \mathrm{i}
C.
2−i2 - \mathrm{i}
D.
2+i2 + \mathrm{i}

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
以下四个数中的最大者是（ ）
A.
(ln⁡2)2(\ln 2)^{2}
B.
ln⁡(ln⁡2)\ln (\ln 2)
C.
ln⁡2\ln \sqrt{2}
D.
ln⁡2\ln 2

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05平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 DD 是 ABAB 边上一点，若 AD→=2DB→\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB}，CD→=13CA→+λCB→\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB}，则 λ=\lambda =（ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−23-\frac{2}{3}

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06不等式★★☆☆☆
不等式 x−1x2−4>0\frac{x - 1}{x^2 - 4} > 0 的解集为（ ）
A.
(−2,1)(-2, 1)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(−2,1)∪(2,+∞)(-2,1)\cup (2, + \infty)
D.
(−∞,−2)∪(1,+∞)(- \infty, -2) \cup (1, +\infty)

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1AB_{1} 与侧面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 所成角的正弦等于（ ）
A.
64\frac{\sqrt{6}}{4}
B.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

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08导数及其应用★★☆☆☆
已知曲线 y=x24−3ln⁡xy = \frac{x^2}{4} - 3\ln x 的一条切线的斜率为 12\frac{1}{2}，则切点的横坐标为（ ）
A.
33
B.
22
C.
11
D.
12\frac{1}{2}

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09函数与初等函数★★☆☆☆
把函数 y=exy = \mathrm{e}^{x} 的图象按向量 a=(2,3)\boldsymbol{a} = (2,3) 平移，得到 y=f(x)y = f(x) 的图象，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
ex−3+2\mathrm{e}^{x - 3} + 2
B.
ex+3−2\mathrm{e}^{x + 3} - 2
C.
ex−2+3\mathrm{e}^{x - 2} + 3
D.
ex+2−3\mathrm{e}^{x + 2} - 3

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 55 位同学中选派 44 位同学在星期五，星期六，星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 22 人参加，星期六，星期日各有 11 人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A.
4040 种
B.
6060 种
C.
100100 种
D.
120120 种

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的左，右焦点. 若双曲线上存在点 AA，使 ∠F1AF2=90∘\angle F_{1}AF_{2} = 90^{\circ}，且 ∣AF1∣=3∣AF2∣|AF_{1}| = 3|AF_{2}|，则双曲线离心率为（ ）
A.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
B.
102\frac{\sqrt{10}}{2}
C.
152\frac{\sqrt{15}}{2}
D.
5\sqrt{5}

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12解析几何★★★☆☆
设 FF 为抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点，AA，BB，CC 为该抛物线上三点. 若 FA→+FB→+FC→=0\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = 0，则 ∣FA∣+∣FB∣+∣FC∣=|FA| + |FB| + |FC| =（ ）
A.
99
B.
66
C.
44
D.
33

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+2x2)(x−1x)8(1 + 2x^{2})\left(x - \frac{1}{x}\right)^{8} 的展开式中常数项为______.

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
在某项测量中，测量结果 ξ\xi 服从正态分布 N(1,σ2)N(1, \sigma^2)（σ>0\sigma > 0）. 若 ξ\xi 在 (0,1)(0, 1) 内取值的概率为 0.40.4，则 ξ\xi 在 (0,2)(0, 2) 内取值的概率为______.

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15立体几何初步★★☆☆☆
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm2 \mathrm{~cm} 的球面上. 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm1 \mathrm{~cm}，那么该棱柱的表面积为______cm2\mathrm{cm}^{2}.

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16数列★★☆☆☆
已知数列的通项 an=−5n+2a_{n} = -5n + 2，其前 nn 项和为 SnS_{n}，则 lim⁡n→∞Snn2=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2} =______.

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知内角 A=π3A = \frac{\pi}{3}，边 BC=23BC = 2\sqrt{3}，设内角 B=xB = x，周长为 yy.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的解析式和定义域； (2) 求 yy 的最大值.

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18概率与统计★★★☆☆
从某批产品中，有放回地抽取产品 22 次，每次随机抽取 11 件，假设事件 AA：“取出的 22 件产品中至多有 11 件是二等品”的概率 P(A)=0.96P(A)=0.96.
(1) 求从该批产品中任取 11 件是二等品的概率 pp； (2) 若该批产品共有 100100 件，从中任意抽取 22 件，ξ\xi 表示取出的 22 件产品中二等品的件数，求 ξ\xi 的分布列.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，侧棱 SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，EE，FF 分别是 ABAB，SCSC 的中点.
(1) 求证： EF∥EF\parallel 平面 SADSAD； (2) 设 SD=2CDSD = 2CD，求二面角 A−EF−DA - EF - D 的大小.

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20解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以 OO 为圆心的圆与直线 x−3y=4x - \sqrt{3} y = 4 相切.
(1) 求圆 OO 的方程； (2) 圆 OO 与 xx 轴相交于 AA，BB 两点，圆内的动点 PP 使 ∣PA∣\left|PA\right|，∣PO∣\left|PO\right|，∣PB∣\left|PB\right| 成等比数列，求 PA→⋅PB→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 的取值范围.

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21数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1∈(0,1)a_1 \in (0,1)，an=3−an−12a_n = \frac{3 - a_{n-1}}{2}，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=an3−2anb_{n} = a_{n}\sqrt{3 - 2a_{n}}，证明 bn<bn+1b_{n} < b_{n+1}，其中 nn 为正整数.

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 M(t,f(t))M(t, f(t)) 处的切线方程； (2) 设 a>0a > 0，如果过点 (a,b)(a, b) 可作曲线 y=f(x)y = f(x) 的三条切线，证明：−a<b<f(a)-a < b < f(a).

2007 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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