曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x$ 所围成的封闭图形的面积为______.

已知函数 $f(x) = nx - x^n$，$x \in \mathbf{R}$. 其中 $n \in \mathbf{N}^*$，且 $n \geqslant 2$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 设曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g(x)$. 求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f(x) \leqslant g(x)$； (3) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$（$a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，求证： $|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2$.