一个几何体的三视图如图所示（单位：$\mathrm{m}$），则该几何体的体积为______$\mathrm{m}^3$.

如图，在四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1}A \perp$ 底面 $ABCD$，$AB \perp AC$，$AB = 1$，$AC = AA_{1} = 2$，$AD = CD = \sqrt{5}$，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1}C$ 和 $D_{1}D$ 的中点.

(1) 求证：$MN \parallel$ 平面 $ABCD$； (2) 求二面角 $D_{1} - AC - B_{1}$ 的正弦值； (3) 设 $E$ 为棱 $A_{1}B_{1}$ 上的点，若直线 $NE$ 和平面 $ABCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $A_{1}E$ 的长.