如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{1}{2}$. 其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$. 不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.

已知 $a > 0$，$b \in \mathbf{R}$，函数 $f(x) = 4ax^3 - 2bx - a + b$.

(1) 证明：当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，

(i) 函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2a-b|+a$； (ii) $f(x)+|2a-b|+a\geqslant0$； (2) 若 $-1 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对 $x \in [0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围.