某拖拉机厂为了支援农业生产，在预定期限内计划生产一批新型拖拉机，若按原来每天生产 $20\text{~台}$，则差 $100\text{~台}$ 不能按时完成任务；在揭批“四人帮”的伟大运动的推动下，每天生产了 $25\text{~台}$，结果到期比原计划超额 $50\text{~台}$，问原计划生产拖拉机多少台？预定期限是多少天？

直角三角形中的一个锐角为 $\beta$，面积是12.

(1) 求此三角形的外接圆的面积； (2) 当 $\beta$ 取何值时，外接圆的面积最小.

某生产队要建造一个体积为 $50\text{~立方米}$ 的有盖圆柱形氨水池（如图），问这个氨水池高和底半径取多大时用料最省（即表面积最小）？