已知圆 $C_{1}: (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$，圆 $C_{2}: (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$，$M$，$N$ 分别是圆 $C_{1}$，$C_{2}$ 上的动点，$P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|PM| + |PN|$ 的最小值为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设两圆的圆心分别为 $O_1(2,3)$，$O_2(3,4)$，半径分别为 $1$，$3$. 任取 $x$ 轴上的点 $P$，有 $PO_1\geqslant3>1$，$PO_2\geqslant4>3$. 所以从 $P$ 到两圆上动点的最小距离分别为 $PO_1-1$ 和 $PO_2-3$，从而 将 $O_1$ 关于 $x$ 轴对称到 $O_1'(2,-3)$，由于 $P$ 在 $x$ 轴上，$PO_1=PO_1'$. 因此 线段 $O_1'O_2$ 与 $x$ 轴相交，故等号可以取得. 于是最小值为 故选 A. \end{solution}

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = 20$，过 $C$ 作 $\triangle ABC$ 的外接圆的切线 $CD$，$BD \perp CD$，$BD$ 与外接圆交于点 $E$，则 $DE$ 的长为______.

\begin{answer} $5$ \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\angle C=90^{\circ}$，所以 $AB$ 是外接圆的直径. 由 $AB=20$ 及 $\angle A=60^{\circ}$，得 由切线与弦 $CB$ 所成的角等于弦 $CB$ 所对的圆周角，得 在直角三角形 $BCD$ 中，$BD\perp CD$，故 $CD=BC\cos60^{\circ}=5\sqrt3$，$BD=BC\sin60^{\circ}=15$. 由点 $D$ 的切割线定理， 所以 \end{solution}

在直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若极坐标方程为 $\rho\cos \theta = 4$ 的直线与曲线 （$t$ 为参数）相交于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB| =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $16$ \end{answer}

\begin{solution} 极坐标方程满足 $x=\rho\cos\theta=4$，所以相交弦所在直线为 $x=4$. 参数方程给出 $x=t^2$，于是 $t^2=4$，$t=\pm2$. 对应的两个交点为 $A=(4,8)$，$B=(4,-8)$. 因此 \end{solution}

如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$，$A'$ 两点，$|AA'| = 4$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$，$P'$，过 $P$，$P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆. 使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外. 若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程.

\begin{solution} 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（$a>b>0$） 焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，且 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{2}$.

\begin{enumerate} \item 过左焦点 $F_1(-c,0)$ 的垂线为 $x=-c$. 代入椭圆方程，弦端点的纵坐标满足 因此 解得 $b^2=8$，再由 $b^2=\frac{a^2}{2}$ 得 $a^2=16$. 所以椭圆的标准方程为

\item 设垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=x_0$，其与椭圆的交点为 $P(x_0,y_0)$，$P'(x_0,-y_0)$，$y_0\ne0$. 由于圆过 $P$，$P'$，其圆心 $Q$ 在 $PP'$ 的垂直平分线上，而 $PP'$ 垂直于 $x$ 轴，所以可设 $Q(t,0)$，圆的半径为 $r$. 由 $PQ\perp P'Q$， 即 椭圆上的点 $M(x,y)$ 满足 $y^2=\frac{16-x^2}{2}$. 于是 由题意，除 $P$，$P'$ 外椭圆上的点均在圆外，所以当 $x=x_0$ 时上式在区间 $(-4,4)$ 内取得最小值 $0$. 对关于 $x$ 的二次式求导，得 由椭圆方程和上面两个等式， $y_0^2=\frac{16-x_0^2}{2}$，$(x_0-t)^2=y_0^2$， 从而 解得 $t^2=\frac{8}{3}$. 又 所以 $t=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$，圆 $Q$ 的标准方程为 或 \end{enumerate} \end{solution}