某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由三视图可知，该几何体沿主视图水平方向的长度为 $10$，垂直于该方向的截面为梯形. 由俯视图，梯形的下底为 $3+2+3=8$，上底为中间部分的宽 $2$；由主视图，梯形的高为 $4$.

因此截面面积为 几何体的体积为 故选 C. \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$BC = CD = 2$，$AC = 4$，$\angle ACB = \angle ACD = \frac{\pi}{3}$，$F$ 为 $PC$ 的中点，$AF \perp PB$.

(1) 求 $PA$ 的长； (2) 求二面角 $B - AF - D$ 的正弦值.

\begin{solution} 建立空间直角坐标系，使底面 $ABCD$ 在 $xOy$ 平面内，取 $A(0,0,0)$，$C(4,0,0)$，$B(3,\sqrt{3},0)$，$D(3,-\sqrt{3},0)$. 这些坐标满足 $BC=CD=2$、$AC=4$，且 $\angle ACB=\angle ACD=\frac{\pi}{3}$. 由 $PA\perp$ 底面，设 $P(0,0,h)$，其中 $h=PA>0$. 因为 $F$ 是 $PC$ 的中点，所以 $F\left(2,0,\frac{h}{2}\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(2,0,\frac{h}{2}\right)$，$\overrightarrow{PB}=(3,\sqrt{3},-h)$.

\begin{enumerate} \item 由 $AF\perp PB$，得 即 $6-\frac{h^{2}}{2}=0$. 因 $h>0$，所以 $PA=h=2\sqrt{3}$.

\item 此时 $F=(2,0,\sqrt{3})$，从而 $\overrightarrow{AF}=(2,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}=(3,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AD}=(3,-\sqrt{3},0)$. 取平面 $BAF$ 和 $DAF$ 的法向量 于是 $\boldsymbol{n}_B\cdot\boldsymbol{n}_D=6$，$|\boldsymbol{n}_B|=|\boldsymbol{n}_D|=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. 设二面角 $B-AF-D$ 的平面角为 $\varphi$，则 所以 \end{enumerate} \end{solution}