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09三角函数★★★☆☆
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4\cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用余弦与正弦的互余关系，
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4sin⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘=4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘.\begin{aligned} 4\cos50^{\circ}-\tan40^{\circ} &=4\sin40^{\circ}-\frac{\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}\\ &=\frac{4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}. \end{aligned}
又因为
sin⁡40∘+3cos⁡40∘=2sin⁡100∘=2sin⁡80∘\sin40^{\circ}+\sqrt{3}\cos40^{\circ} =2\sin100^{\circ}=2\sin80^{\circ}
所以
4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘=2sin⁡80∘−sin⁡40∘=3cos⁡40∘4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ} =2\sin80^{\circ}-\sin40^{\circ} =\sqrt{3}\cos40^{\circ}
故原式等于 3\sqrt{3}，选 C. \end{solution}
A.
2\sqrt{2}
B.
2+32\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22−12\sqrt{2} - 1

2013 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^{\circ}，∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}，AB=20AB = 20，过 CC 作 △ABC\triangle ABC 的外接圆的切线 CDCD，BD⊥CDBD \perp CD，BDBD 与外接圆交于点 EE，则 DEDE 的长为______.
\begin{answer} 55 \end{answer}
\begin{solution} 因为 ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}，所以 ABAB 是外接圆的直径. 由 AB=20AB=20 及 ∠A=60∘\angle A=60^{\circ}，得
BC=ABsin⁡60∘=103BC=AB\sin60^{\circ}=10\sqrt3
由切线与弦 CBCB 所成的角等于弦 CBCB 所对的圆周角，得
∠BCD=∠BAC=60∘\angle BCD=\angle BAC=60^{\circ}
在直角三角形 BCDBCD 中，BD⊥CDBD\perp CD，故 CD=BCcos⁡60∘=53CD=BC\cos60^{\circ}=5\sqrt3，BD=BCsin⁡60∘=15BD=BC\sin60^{\circ}=15. 由点 DD 的切割线定理，
DC2=DE⋅DBDC^2=DE\cdot DB
所以
DE=DC2DB=(53)215=5DE=\frac{DC^2}{DB}=\frac{(5\sqrt3)^2}{15}=5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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20三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别是 aa，bb，cc，且 a2+b2+2ab=c2a^2 + b^2 + \sqrt{2}ab = c^2.
(1) 求 CC； (2) 设 cos⁡Acos⁡B=325\cos A\cos B = \frac{3\sqrt{2}}{5}，cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=25\frac{\cos(\alpha + A)\cos(\alpha + B)}{\cos^2\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{5}，求 tan⁡α\tan \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由余弦定理，
cos⁡C=a2+b2−c22ab=−22\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
因为 CC 是三角形的内角，所以 C=3π4C=\frac{3\pi}{4}，从而
A+B=π−C=π4A+B=\pi-C=\frac{\pi}{4}
\item 记 t=tan⁡αt=\tan\alpha. 题目中的分式有意义，所以 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0. 由 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}，
sin⁡Asin⁡B=cos⁡Acos⁡B−cos⁡(A+B)=325−22=210\sin A\sin B=\cos A\cos B-\cos(A+B)=\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}
将两角和公式展开并除以 cos⁡2α\cos^2\alpha，得
cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=cos⁡Acos⁡B−tsin⁡(A+B)+t2sin⁡Asin⁡B\frac{\cos(\alpha+A)\cos(\alpha+B)}{\cos^2\alpha} =\cos A\cos B-t\sin(A+B)+t^2\sin A\sin B
代入已知条件，得到
325−22t+210t2=25\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{10}t^2=\frac{\sqrt{2}}{5}
两边同除以 210\frac{\sqrt{2}}{10}，得
t2−5t+4=0t^2-5t+4=0
所以
tan⁡α=t=1或t=4\tan\alpha=t=1\quad\text{或}\quad t=4
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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