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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，A={1,3,5}A = \{1, 3, 5\}，B={2,3,5}B = \{2, 3, 5\}，则 ∁U(A∩B)\complement_U (A \cap B) 等于（ ）
A.
{1,2,4}\{1,2,4\}
B.
{4}\{4\}
C.
{3,5}\{3,5\}
D.
∅\varnothing

2004 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
tan⁡15∘+cot⁡15∘\tan 15^{\circ} + \cot 15^{\circ} 的值是（ ）
A.
22
B.
2+32 + \sqrt{3}
C.
44
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2004 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：若 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则 ∣a∣+∣b∣>1|a| + |b| > 1 是 ∣a+b∣>1|a + b| > 1 的充要条件. 命题 qq：函数 y=∣x−1∣−2y = \sqrt{|x - 1|} - 2 的定义域是 (−∞,−1]∪[3,+∞)(- \infty, -1] \cup [3, +\infty). 则（ ）
A.
“pp 或 qq”为假
B.
“pp 且 qq”为真
C.
pp 真 qq 假
D.
pp 假 qq 真

2004 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆的两个焦点，过 F1F_{1} 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 AA，BB 两点，若 △ABF2\triangle ABF_{2} 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2004 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，若 a5a3=59\frac{a_{5}}{a_{3}} = \frac{5}{9}，则 S9S5=\frac{S_{9}}{S_{5}} =（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
22
D.
12\frac{1}{2}

2004 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是不重合的直线，α\alpha，β\beta 是不重合的平面，有下列命题：
① 若 m⊂αm \subset \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n； ② 若 m∥αm \parallel \alpha，m∥βm \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α∩β=n\alpha \cap \beta = n，m∥nm \parallel n，则 m∥αm \parallel \alpha 且 m∥βm \parallel \beta； ④ 若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥βm \perp \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta.
其中真命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2004 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 y=log⁡2xy = \log_{2} x 的反函数是 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，则函数 y=f−1(1−x)y = f^{-1}(1 - x) 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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08平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量且满足 (a−2b)⊥a(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}，(b−2a)⊥b(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2004 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (x−ax)8\left(x - \frac{a}{x}\right)^{8} 展开式中常数项为 11201120，其中实数 aa 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）
A.
282^{8}
B.
383^{8}
C.
11 或 383^{8}
D.
11 或 282^{8}

2004 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，AA，BB，CC 是表面积为 48π48\pi 的球面上三点，AB=2AB = 2，BC=4BC = 4，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，OO 为球心，则直线 OAOA 与截面 ABCABC 所成的角是（ ）
A.
arcsin⁡36\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}
B.
arccos⁡36\arccos \frac{\sqrt{3}}{6}
C.
arcsin⁡33\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}
D.
arccos⁡33\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}

2004 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=f(x+2)f(x) = f(x + 2)，当 x∈[3,4]x \in [3,4] 时，f(x)=x−2f(x) = x - 2，则（ ）
A.
f(sin⁡12)<f(cos⁡12)f\left(\sin \frac{1}{2}\right) < f\left(\cos \frac{1}{2}\right)
B.
f(sin⁡π3)>f(cos⁡π3)f\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) > f\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)
C.
f(sin⁡1)<f(cos⁡1)f(\sin 1) < f(\cos 1)
D.
f(sin⁡32)>f(cos⁡32)f\left(\sin \frac{3}{2}\right) > f\left(\cos \frac{3}{2}\right)

2004 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
如图，BB 地在 AA 地的正东方向 4 km4\mathrm{~km} 处，CC 地在 BB 地的北偏东 30∘30^{\circ} 方向 2 km2\mathrm{~km} 处，河流的某岸 PQPQ（曲线）上任意一点到 AA 的距离比到 BB 的距离远 2 km2\mathrm{~km}. 现要在曲线 PQPQ 上选一处 MM 建一座码头，向 BB，CC 两地转运货物. 经测算，从 MM 到 BB，CC 两地修建公路的费用分别是 a 万元/kma\text{ 万元}/\mathrm{km}，2a 万元/km2a\text{ 万元}/\mathrm{km}，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A.
(7+1)a 万元(\sqrt{7} + 1)a\text{ 万元}
B.
(27−2)a 万元(2\sqrt{7} - 2)a\text{ 万元}
C.
27a 万元2\sqrt{7}a\text{ 万元}
D.
(7−1)a 万元(\sqrt{7} - 1)a\text{ 万元}

2004 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
直线 x+2y=0x + 2y = 0 被曲线 x2+y2−6x−2y−15=0x^{2} + y^{2} - 6x - 2y - 15 = 0 所截得的弦长等于______.

2004 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - 1, &
（x⩾0x \geqslant 0）,\\ \frac{1}{x}, &（x<0x < 0）. \end{cases} 若 f(a)>af(a) > a，则实数 aa 的取值范围是______.

2004 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
一个总体中有 100100 个个体，随机编号 00，11，22，…\dots，9999，依编号顺序平均分成 1010 个小组，组号依次为 11，22，33，…\dots，1010，现用系统抽样方法抽取一个容量为 1010 的样本. 规定如果在第 11 组随机抽取的号码为 mm，那么在第 kk 组中抽取的号码个位数字与 m+km + k 的个位数字相同. 若 m=6m = 6，则在第 77 组中抽取的号码是______.

2004 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
如图，将边长为 11 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器. 当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

2004 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，其中向量 a=(2cos⁡x,1)\boldsymbol{a} = (2\cos x, 1)，b=(cos⁡x,3sin⁡2x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sqrt{3}\sin 2x)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 f(x)=1−3f(x) = 1 - \sqrt{3} 且 x∈[−π3,π3]x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]，求 xx； (2) 若函数 y=2sin⁡2xy = 2\sin 2x 的图象按向量 c=(m,n)\boldsymbol{c} = (m, n)（∣m∣<π2|m| < \frac{\pi}{2}）平移后得到函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，求实数 mm，nn 的值.

2004 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 1010 道试题中，甲能答对其中的 66 题，乙能答对其中的 88 题. 规定每次考试都从备选题中随机抽出 33 题进行测试，至少答对 22 题才算合格.
(1) 求甲，乙两人考试合格的概率； (2) 求甲，乙两人至少有一人考试合格的概率.

2004 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 S−ABCS - ABC 中，△ABC\triangle ABC 是边长为 44 的正三角形，平面 SAC⊥SAC \perp 平面 ABCABC，SA=SC=22SA = SC = 2\sqrt{2}，MM 为 ABAB 的中点.
(1) 证明：AC⊥SBAC \perp SB； (2) 求二面角 S−CM−BS - CM - B 的大小； (3) 求点 BB 到平面 SCMSCM 的距离.

2004 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
某企业 20032003 年的纯利润为 500 万元500\text{ 万元}，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元20\text{ 万元}，今年初该企业一次性投入资金 600 万元600\text{ 万元} 进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 nn 年（今年为第一年）的利润为 500(1+12n) 万元500\left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right)\text{ 万元}（nn 为正整数）.
(1) 设从今年起的前 nn 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元A_n\text{ 万元}，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元B_n\text{ 万元}（须扣除技术改造资金），求 AnA_n，BnB_n 的表达式； (2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

2004 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，PP 是抛物线 C:y=12x2C: y = \frac{1}{2}x^2 上一点，直线 ll 过点 PP 且与抛物线 CC 在点 PP 的切线垂直，ll 与抛物线 CC 相交于另一点 QQ.
(1) 当点 PP 的横坐标为 22 时，求直线 ll 的方程； (2) 当点 PP 在抛物线 CC 上移动时，求线段 PQPQ 中点 MM 的轨迹方程，并求点 MM 到 xx 轴的最短距离.

2004 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=4x+ax2−23x3f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3（x∈Rx \in \mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=2x+13x3f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2| 对任意 a∈Aa \in A 及 t∈[−1,1]t \in [-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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