如图，将边长为 $1$ 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器. 当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

如图，$P$ 是抛物线 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与抛物线 $C$ 在点 $P$ 的切线垂直，$l$ 与抛物线 $C$ 相交于另一点 $Q$.

(1) 当点 $P$ 的横坐标为 $2$ 时，求直线 $l$ 的方程； (2) 当点 $P$ 在抛物线 $C$ 上移动时，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程，并求点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离.

已知 $f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3$（$x \in \mathbf{R}$）在区间 $[-1,1]$ 上是增函数.

(1) 求实数 $a$ 的值组成的集合 $A$； (2) 设关于 $x$ 的方程 $f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3$ 的两个非零实根为 $x_1$，$x_2$. 试问：是否存在实数 $m$，使得不等式 $m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2|$ 对任意 $a \in A$ 及 $t \in [-1,1]$ 恒成立？若存在，求 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.