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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
对数方程 2log⁡6x=1−log⁡632\log_6 x = 1 - \log_6 3 的解是（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
2\sqrt{2}
C.
2\sqrt{2} 和 −2-\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3} 和 2\sqrt{2}

1988 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,1)(0,1) 上是增函数的只有（ ）
A.
y=−xy = -\sqrt{x}
B.
y=1x3y = \frac{1}{x^3}
C.
y=log⁡12xy = \log_{\frac{1}{2}} x
D.
y=−x2+2x+1y = -x^2 + 2x + 1

1988 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14不等式★★☆☆☆
下列不等式中，与不等式 x−32−x⩾0\frac{x - 3}{2 - x} \geqslant 0 同解的是（ ）
A.
(x−3)(2−x)⩾0(x - 3)(2 - x) \geqslant 0
B.
lg⁡(x−2)⩽0\lg(x - 2) \leqslant 0
C.
2−xx−3⩾0\frac{2 - x}{x - 3} \geqslant 0
D.
(x−3)(2−x)>0(x - 3)(2 - x) > 0

1988 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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34指数函数与对数函数★★★★★
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，f(x)=log⁡a(x+x2−1)f(x) = \log_a\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)（x⩾1x \geqslant 1）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x) 和这个反函数的定义域； (2) 记 bn=f−1(n)b_n = f^{-1}(n)，Sn=b1+b2+⋯+bnS_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n，求证：当 12<a<2\frac{1}{2} < a < 2 时，对任意自然数 nn，都有 Sn<2n−(22)nS_n < 2^n - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n.

1988 · 广东 · 理 · 第 34 题 · 解答题

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