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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=13−2x−x2y = \frac{1}{3 - 2x - x^2} 的定义域为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★★☆☆☆
若椭圆的两个焦点坐标为 F1(−1,0)F_{1}(-1,0)，F2(5,0)F_{2}(5,0)，长轴长为 1010，则椭圆的方程为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
若全集 I=RI = \mathbf{R}，f(x)f(x)，g(x)g(x) 均为 xx 的二次函数，P={x∣f(x)<0}P = \{x \mid f(x) < 0\}，Q={x∣g(x)⩾0}Q = \{x \mid g(x) \geqslant 0\}，则不等式组
{f(x)<0,g(x)<0\begin{cases} f(x) < 0,\\ g(x) < 0 \end{cases}
的解集可用 PP，QQ 表示为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数. 若当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=log⁡3(1+x)f(x) = \log_3(1 + x)，则 f(−2)=f(-2) =______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
若在 (x5−1x)n\left(\sqrt[5]{x} - \frac{1}{x}\right)^n 的展开式中，第 4 项是常数项，则 n=n =______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=1−x1+xf(x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}，若 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，则 f(cos⁡α)+f(−cos⁡α)f(\cos \alpha) + f(-\cos \alpha) 可化简为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★★☆☆
六位身高全不相同的同学拍照留念. 摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 F1(x,y)=0F_1(x,y) = 0 和 F2(x,y)=0F_2(x,y) = 0，则点 P(a,b)∉C1∩C2P(a,b) \notin C_1 \cap C_2 的一个充分条件为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=2sin⁡ωxf(x) = 2 \sin \omega x（0<ω<10 < \omega < 1）在区间 [0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right] 上的最大值是 2\sqrt{2}，则 ω=\omega =______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 ABAB，CDCD，EFEF 和 GHGH 在原正方体中相互异面的有______对.

2002 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
如图所示，客轮以速度 2v2v 由 AA 至 BB 再到 CC 匀速航行，货轮从 ACAC 的中点 DD 出发，以速度 vv 沿直线匀速航行，将货物送达客轮. 已知 AB⊥BCAB \perp BC，且 AB=BC=50 海里AB = BC = 50\text{ 海里}. 若两船同时出发，则两船相遇之处距 CC 点______海里\text{海里}. （结果精确到小数点后 1 位）

2002 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
如图，若从点 OO 所作的两条射线 OMOM，ONON 分别有点 M1M_{1}，M2M_{2} 与点 N1N_{1}，N2N_{2}，则三角形面积之比 S△OM1N1S△OM2N2=OM1OM2⋅ON1ON2\frac{S_{\triangle O M_{1}N_{1}}}{S_{\triangle O M_{2}N_{2}}} = \frac{OM_{1}}{OM_{2}} \cdot \frac{ON_{1}}{ON_{2}}，若从点 OO 所作的不在同一平面内的三条射线 OPOP，OQOQ 和 OROR 上，分别有点 P1P_{1}，P2P_{2}，点 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 和点 R1R_{1}，R2R_{2} 则类似的结论为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为任意向量，m∈Rm \in \mathbf{R}，则下列等式不一定成立的是（ ）
A.
(a+b)+c=a+(b+c)(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})
B.
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}
C.
m(a+b)=ma+mbm(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = m\boldsymbol{a} + m\boldsymbol{b}
D.
(a⋅b)c=a(b⋅c)(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c})

2002 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 2cos⁡Bsin⁡A=sin⁡C2\cos B\sin A = \sin C，则 △ABC\triangle ABC 的形状一定是（ ）
A.
等腰直角三角形
B.
直角三角形
C.
等腰三角形
D.
等边三角形

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，函数 y=log⁡axy = \log_a x 的反函数和 y=log⁡a1xy = \log_a \frac{1}{x} 的反函数的图象关于（ ）
A.
xx 轴对称
B.
yy 轴对称
C.
y=xy = x 对称
D.
原点对称

2002 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\}（n∈Nn \in \mathbf{N}）是等差数列，SnS_{n} 是其前 nn 项的和，且 S5<S6S_{5} < S_{6}，S6=S7>S8S_{6} = S_{7} > S_{8}，则下列结论错误的是（ ）
A.
d<0d < 0
B.
a7=0a_{7} = 0
C.
S9>S5S_{9} > S_{5}
D.
S6S_{6} 和 S7S_{7} 均为 SnS_{n} 的最大值

2002 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17复数★★★☆☆
已知 zz，ω\omega 为复数，(1+3i)z(1 + 3\mathrm{i})z 为纯虚数，ω=z2+i\omega = \frac{z}{2 + \mathrm{i}} 且 ∣ω∣=52|\omega| = 5\sqrt{2}，求 ω\omega.

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18解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的焦点. 过 F2F_{2} 作垂直 xx 轴的直线交双曲线于点 PP，且 ∠PF1F2=30∘\angle PF_{1}F_{2} = 30^{\circ}，求双曲线的渐近方程.

2002 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 OAB−O1A1B1OAB - O_{1}A_{1}B_{1}，平面 OBB1O1⊥OBB_{1}O_{1} \perp 平面 OABOAB，∠O1OB=60∘\angle O_{1}OB = 60^{\circ}，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^{\circ}，且 OB=OO1=2OB = OO_{1} = 2，OA=3OA = \sqrt{3}. 求：
(1) 二面角 O1−AB−OO_{1} - AB - O 的大小； (2) 异面直线 A1BA_{1}B 与 AO1AO_{1} 所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示）

2002 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax+x−2x+1f(x) = a^x + \frac{x - 2}{x + 1}（a>1a > 1）.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 上为增函数； (2) 用反证法证明方程 f(x)=0f(x)=0 没有负数根.

2002 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
某公司全年的利润为 b 元b\text{ 元}，其中一部分作为奖金发给 nn 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由 1 到 nn 排序. 第 1 位职工得奖金 bn 元\frac{b}{n}\text{ 元}，然后再将余额除以 nn 发给第 2 位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1) 设 aka_k（1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n）为第 kk 位职工所得奖金额，试求 a2a_2，a3a_3，并用 kk，nn 和 bb 表示 aka_k（不必证明）； (2) 证明 ak>ak+1a_{k} > a_{k + 1}（k=1k = 1，22，…\dots，n−1n - 1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3) 发展基金与 nn 和 bb 有关，记为 Pn(b)P_{n}(b)，对常数 bb，当 nn 变化时，求 lim⁡n→∞Pn(b)\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_{n}(b).

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22函数与初等函数★★★★☆
对于函数 f(x)f(x)，若存在 x0∈Rx_0 \in \mathbf{R}，使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0 成立，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的不动点. 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b−1)f(x) = ax^2 + (b + 1)x + (b - 1)（a≠0a \neq 0）.
(1) 当 a=1a = 1，b=−2b = -2 时，求函数 f(x)f(x) 的不动点； (2) 若对任意实数 bb，函数 f(x)f(x) 恒有两个相异的不动点，求 aa 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，若 y=f(x)y = f(x) 图上 AA，BB 两点的横坐标是函数 f(x)f(x) 的不动点，且 AA，BB 两点关于直线 y=kx+12a2+1y = kx + \frac{1}{2a^2 + 1} 对称，求 bb 的最小值.

2002 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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