对于函数 $f(x)$，若存在 $x_0 \in \mathbf{R}$，使 $f(x_0) = x_0$ 成立，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的不动点. 已知函数 $f(x) = ax^2 + (b + 1)x + (b - 1)$（$a \neq 0$）.

(1) 当 $a = 1$，$b = -2$ 时，求函数 $f(x)$ 的不动点； (2) 若对任意实数 $b$，函数 $f(x)$ 恒有两个相异的不动点，求 $a$ 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，若 $y = f(x)$ 图上 $A$，$B$ 两点的横坐标是函数 $f(x)$ 的不动点，且 $A$，$B$ 两点关于直线 $y = kx + \frac{1}{2a^2 + 1}$ 对称，求 $b$ 的最小值.