设 $m \in \mathbf{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P(x, y)$. 则 $|PA| + |PB|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 两条动直线分别恒过 $A=(0,0)$ 和 $B=(1,3)$. 它们的法向量分别为 $(1,m)$ 和 $(m,-1)$，数量积为 $m-m=0$，所以两直线始终垂直，即 $\angle APB=90^{\circ}$. 因而 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，且 $|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，$|PA|^2+|PB|^2=10$. 由基本不等式， 联立两条直线方程可得 当 $m=3$ 或 $m=-\frac13$ 时，分别有 $P=A$ 或 $P=B$，下界可以取得；当 $m=\frac12$ 或 $m=-2$ 时，分别有 $P=(-1,2)$ 或 $P=(2,1)$，均满足 $|PA|=|PB|=\sqrt5$，上界也可以取得. 故取值范围为 $[\sqrt{10},2\sqrt5]$，选 B. \end{solution}

已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A$，$B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 面积之和的最小值是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设 $A=(u^2,u)$，$B=(v^2,v)$，其中 $u>0>v$. 由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$，得 令 $t=uv<0$，则 $t^2+t-2=0$，所以 $t=-2$，即 $uv=-2$. 抛物线 $y^2=x$ 的焦点为 $F\left(\frac14,0\right)$. 因此 $S_{\triangle ABO}=\frac12|u^2v-v^2u|=u-v$，$S_{\triangle AFO}=\frac12\cdot\frac14\cdot u=\frac{u}{8}$. 又由 $v=-\frac2u$，有 等号条件为 $u=\frac43$，此时 $v=-\frac32$，满足 $u>0>v$，所以等号确实可以取得. 故最小值为 $3$，选 B. \end{solution}

双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的离心率等于______. \begin{answer} $\frac{\sqrt{5}}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a^2=4$，$b^2=1$. 由 $c^2=a^2+b^2=5$ 得 $c=\sqrt5$，所以离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt5}{2}$. \end{solution}

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F(-2,0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，$T$ 为直线 $x = -3$ 上一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆于 $P$，$Q$. 当四边形 $OPTQ$ 是平行四边形时，求四边形 $OPTQ$ 的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆焦距参数为 $c$. 由左焦点 $F(-2,0)$ 得 $c=2$，再由离心率 $e=\frac ca=\frac{\sqrt6}{3}$，得 $a=\sqrt6$. 因为 $b^2=a^2-c^2=6-4=2$，所以椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$. \item 设 $T=(-3,m)$. 向量 $\overrightarrow{TF}=(1,-m)$，过 $F$ 且垂直于 $TF$ 的直线可写为 $x=my-2$. 设 $P=(x_1,y_1)$，$Q=(x_2,y_2)$，代入椭圆方程得 由韦达定理， $y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3}$，$y_1y_2=-\frac2{m^2+3}$. 又 $x_i=my_i-2$，所以 $x_1+x_2=\frac{4m^2}{m^2+3}-4=-\frac{12}{m^2+3}$. 四边形 $OPTQ$ 为平行四边形时，对角线互相平分，即 $P+Q=O+T=T$，故 $\frac{4m}{m^2+3}=m$，$-\frac{12}{m^2+3}=-3$. 第二个等式给出 $m^2=1$，这两个值也满足第一个等式，因此 $m=\pm1$.

取 $m=1$，则 $T=(-3,1)$，直线 $PQ$ 为 $y=x+2$，与椭圆的两个交点为 $P\left(\frac{-3-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right)$，$Q\left(\frac{-3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right)$. 平行四边形的两条对角线为 $OT$ 与 $PQ$，故面积为 当 $m=-1$ 时图形关于 $x$ 轴对称，面积相同. 因此四边形 $OPTQ$ 的面积为 $2\sqrt3$. \end{enumerate} \end{solution}