设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f(x) = 2^{x}$ 的图象上（$n \in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列； (2) 若 $a_{1} = 1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\{a_{n} b_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 $(a_n,b_n)$ 在 $y=2^x$ 的图象上，所以 $b_n=2^{a_n}$. 又 $a_{n+1}=a_n+d$，故 这个比值与 $n$ 无关，所以 $\{b_n\}$ 是以 $2^d$ 为公比的等比数列. \item 函数 $f(x)=2^x$ 的导数为 $f'(x)=2^x\ln2$. 在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线方程为 令 $y=0$，得该切线在 $x$ 轴上的截距为 $a_2-\frac1{\ln2}$. 由题设及 $a_1=1$，得 $a_2=2$，从而 $d=1$，$a_n=n$，$b_n=2^n$. 因此 设上式为 $S_n$，则 $4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k$，相减得 所以 $S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1$，其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值； (2) 若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$\mathrm{e} - 2 < a < 1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $g(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x-2ax-b$，且 $g'(x)=\mathrm{e}^x-2a$ 严格递增. 若 $a\leqslant\frac12$，则 $g'(x)\geqslant0$（$0\leqslant x\leqslant1$），所以最小值为 $g(0)=1-b$. 若 \frac12<a<\frac\mathrm{e}2，则 $g'(x)=0$ 的解 $x_0=\ln(2a)$ 在 $(0,1)$ 内，故最小值为 若 a\geqslant\frac\mathrm{e}2，则 $g'(x)\leqslant0$（$0\leqslant x\leqslant1$），所以最小值为 $g(1)=\mathrm{e}-2a-b$. 综上，最小值为 \item 由 $f(1)=0$，得 $a+b=\mathrm{e}-1$，即 $b=\mathrm{e}-1-a$. 又 $f(0)=0$，设题设中 $(0,1)$ 内的零点为 $x_0$. 对区间 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,1]$ 分别使用罗尔定理，得 $g=f'$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同的零点.

由于 $g'(x)=\mathrm{e}^x-2a$ 严格递增，且 $g$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同的零点，罗尔定理表明 $g'$ 在这两个零点之间有一个零点. 因而 $g$ 在该点左侧递减、右侧递增，两个零点之外函数值严格为正，从而 $g(0)>0$，$g(1)>0$. 因此 $g(0)=1-b=a+2-\mathrm{e}>0$，$g(1)=\mathrm{e}-2a-b=1-a>0$. 于是 $\mathrm{e}-2<a<1$. \end{enumerate} \end{solution}