设 $m \in \mathbf{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P(x, y)$. 则 $|PA| + |PB|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 两条动直线分别恒过 $A=(0,0)$ 和 $B=(1,3)$. 它们的法向量分别为 $(1,m)$ 和 $(m,-1)$，数量积为 $m-m=0$，所以两直线始终垂直，即 $\angle APB=90^{\circ}$. 因而 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，且 $|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，$|PA|^2+|PB|^2=10$. 由基本不等式， 联立两条直线方程可得 当 $m=3$ 或 $m=-\frac13$ 时，分别有 $P=A$ 或 $P=B$，下界可以取得；当 $m=\frac12$ 或 $m=-2$ 时，分别有 $P=(-1,2)$ 或 $P=(2,1)$，均满足 $|PA|=|PB|=\sqrt5$，上界也可以取得. 故取值范围为 $[\sqrt{10},2\sqrt5]$，选 B. \end{solution}

平面向量 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (4, 2)$，$\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$（$m \in \mathbf{R}$），且 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角等于 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，则 $m =$______. \begin{answer} 2 \end{answer}

\begin{solution} 由 $\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，得 $\boldsymbol{c}=(m+4,2m+2)$. 因为 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt5$，$|\boldsymbol{b}|=2\sqrt5$，且两夹角相等，所以 即 $2(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}$. 计算得 $\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=5m+8$，$qquad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=8m+20$. 故 $2(5m+8)=8m+20$，解得 $m=2$. \end{solution}

在如图所示的多面体中，四边形 $ABB_{1}A_{1}$ 和 $ACC_{1}A_{1}$ 都为矩形.

(1) 若 $AC \perp BC$，证明：直线 $BC \perp$ 平面 $ACC_{1}A_{1}$； (2) 设 $D$，$E$ 分别是线段 $BC$，$CC_{1}$ 的中点，在线段 $AB$ 上是否存在一点 $M$，使直线 $DE \parallel$ 平面 $A_{1}MC$？请证明你的结论.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}$. 由两个四边形为矩形，得 $\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0$，$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0$. 又 $\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}$，所以 $\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0$，即 $BC\perp AA_{1}$. 已知 $AC\perp BC$，而 $AC$ 与 $AA_{1}$ 是平面 $ACC_{1}A_{1}$ 内相交的两条直线，因此 $BC\perp$ 平面 $ACC_{1}A_{1}$. \item 取 $M$ 为 $AB$ 的中点. 用上面的向量记号，有 $\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)$，$\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}$，$\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}$. 从而 右端是平面 $A_{1}MC$ 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 $DE$ 的方向平行于平面 $A_{1}MC$. 又因 $ABC$ 是三角形，且 $\boldsymbol{u}$ 同时垂直于 $\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$，故 $\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$ 线性无关. 若 $D$ 在平面 $A_{1}MC$ 内，则存在实数 $\lambda$，$\mu$，使 比较 $\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$，$\boldsymbol{u}$ 的系数，分别得到 $\lambda=1$，$\mu=\frac12$，$\lambda+\mu=1$，矛盾. 因此 $D$ 不在平面 $A_{1}MC$ 内，故 $DE\parallel$ 平面 $A_{1}MC$. 因此存在这样的点 $M$，且它是线段 $AB$ 的中点. \end{enumerate} \end{solution}