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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x 是平行四边形}A = \{x \mid x\text{ 是平行四边形}\}，B={x∣x 是矩形}B = \{x \mid x\text{ 是矩形}\}，C={x∣x 是正方形}C = \{x \mid x\text{ 是正方形}\}，D={x∣x 是菱形}D = \{x \mid x\text{ 是菱形}\}，则（ ）
A.
A⊆BA \subseteq B
B.
C⊆BC \subseteq B
C.
D⊆CD \subseteq C
D.
A⊆DA \subseteq D

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x+1y = \sqrt{x + 1} （x⩾−1x \geqslant -1）的反函数为（ ）
A.
y=x2−1y = x^{2} - 1（x⩾0x \geqslant 0）
B.
y=x2−1y = x^{2} - 1（x⩾1x \geqslant 1）
C.
y=x2+1y = x^{2} + 1（x⩾0x \geqslant 0）
D.
y=x2+1y = x^{2} + 1（x⩾1x \geqslant 1）

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=sin⁡x+φ3f(x) = \sin \frac{x + \varphi}{3}（φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi]）是偶函数，则 φ=\varphi =（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
2π3\frac{2\pi}{3}
C.
3π2\frac{3\pi}{2}
D.
5π3\frac{5\pi}{3}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，则 sin⁡2α=\sin 2\alpha =（ ）
A.
−2425-\frac{24}{25}
B.
−1225-\frac{12}{25}
C.
1225\frac{12}{25}
D.
2425\frac{24}{25}

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05解析几何★★☆☆☆
椭圆的中心在原点，焦距为 44，一条准线为 x=−4x = -4，则该椭圆的方程为（ ）
A.
x216+y212=1\frac{x^2}{16} +\frac{y^2}{12} = 1
B.
x212+y28=1\frac{x^2}{12} +\frac{y^2}{8} = 1
C.
x28+y24=1\frac{x^2}{8} +\frac{y^2}{4} = 1
D.
x212+y24=1\frac{x^2}{12} +\frac{y^2}{4} = 1

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06数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，Sn=2an+1S_{n} = 2a_{n+1}，则 Sn=S_{n} =（ ）
A.
2n−12^{n - 1}
B.
(32)n−1\left(\frac{3}{2}\right)^{n - 1}
C.
(23)n−1\left(\frac{2}{3}\right)^{n - 1}
D.
12n−1\frac{1}{2^{n - 1}}

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
66 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）
A.
240240 种
B.
360360 种
C.
480480 种
D.
720720 种

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=2AB = 2，CC1=22CC_{1} = 2\sqrt{2}，EE 为 CC1CC_{1} 的中点，则直线 AC1AC_{1} 到平面 BEDBED 的距离为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
11

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09平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，ABAB 边的高为 CDCD，若 CB→=a\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{a}，CA→=b\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 AD→=\overrightarrow{AD} =（ ）
A.
13a−13b\frac{1}{3}\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}\boldsymbol{b}
B.
23a−23b\frac{2}{3}\boldsymbol{a} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b}
C.
35a−35b\frac{3}{5}\boldsymbol{a} - \frac{3}{5}\boldsymbol{b}
D.
45a−45b\frac{4}{5}\boldsymbol{a} - \frac{4}{5}\boldsymbol{b}

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10解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 C:x2−y2=2C: x^{2} - y^{2} = 2 的左、右焦点，点 PP 在 CC 上，∣PF1∣=2∣PF2∣|PF_{1}| = 2|PF_{2}|，则 cos⁡∠F1PF2=\cos \angle F_{1}PF_{2} =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
34\frac{3}{4}
D.
45\frac{4}{5}

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 x=ln⁡πx = \ln \pi，y=log⁡52y = \log_5 2，z=e−12z = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}，则（ ）
A.
x<y<zx < y < z
B.
z<x<yz < x < y
C.
z<y<xz < y < x
D.
y<z<xy < z < x

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12解析几何★★★★☆
正方形 ABCDABCD 的边长为 11，点 EE 在边 ABAB 上，点 FF 在边 BCBC 上，AE=BF=13AE = BF = \frac{1}{3}. 动点 PP 从 EE 出发沿直线向 FF 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 PP 第一次碰到 EE 时，PP 与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A.
88
B.
66
C.
44
D.
33

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+12x)8\left(x + \frac{1}{2x}\right)^8 的展开式中 x2x^2 的系数为______.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1⩾0,x+y−3⩽0,x+3y−3⩾0,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y - 3 \leqslant 0,\\ x + 3y - 3 \geqslant 0, \end{cases}
则 z=3x−yz = 3x - y 的最小值为______.

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15三角函数★★☆☆☆
当函数 y=sin⁡x−3cos⁡xy = \sin x - \sqrt{3}\cos x（0⩽x<2π0 \leqslant x < 2\pi）取得最大值时，x=x =______.

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16立体几何初步★★★☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 的中点，那么异面直线 AEAE 与 D1FD_{1}F 所成角的余弦值为______.

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 成等差数列，其对边 aa，bb，cc 满足 2b2=3ac2b^{2} = 3ac，求 AA.

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中， a1=1a_{1}=1，前 nn 项和 Sn=n+23anS_{n}=\frac{n+2}{3}a_{n}.
(1) 求 a2a_{2}，a3a_{3}. (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为菱形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AC=22AC = 2\sqrt{2}，PA=2PA = 2，EE 是 PCPC 上的一点，PE=2ECPE = 2EC.
(1) 证明：PC⊥PC \perp 平面 BEDBED. (2) 设二面角 A−PB−CA - PB - C 为 90∘90^{\circ}，求 PDPD 与平面 PBCPBC 所成角的大小.

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20概率与统计★★★★☆
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在1010平前，一方连续发球22次后，对方再连续发球22次，依次轮换. 每次发球，胜方得11分，负方得00分. 设在甲，乙的比赛中，每次发球，发球方得11分的概率为0.60.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲，乙的一局比赛中，甲先发球.
(1) 求开始第 44 次发球时，甲，乙的比分为 11 比 22 的概率. (2) 求开始第 55 次发球时，甲得分领先的概率.

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13x3+x2+axf(x) = \frac{1}{3} x^3 + x^2 + ax.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性. (2) 设 f(x)f(x) 有两个极值点 x1x_{1}，x2x_{2}，若过两点 (x1,f(x1))(x_{1}, f(x_{1}))，(x2,f(x2))(x_{2}, f(x_{2})) 的直线 ll 与 xx 轴的交点在曲线 f(x)f(x) 上，求 aa 的值.

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22解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y=(x+1)2C: y = (x + 1)^2 与圆 M:(x−1)2+(y−12)2=r2M: (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = r^2（r>0r > 0）有一个公共点 AA，且在 AA 处两曲线的切线为同一直线 ll.
(1) 求 rr. (2) 设 mm，nn 是异于 ll 且与 CC 及 MM 都相切的两条直线，mm，nn 的交点为 DD，求 DD 到 ll 的距离.

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