抛物线 $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 $D$（包含三角形内部与边界）. 若点 $P(x,y)$ 是区域 $D$ 内的任意一点，则 $x+2y$ 的取值范围是______.

设函数 $f(x)=\ln x-ax$，$g(x)=\mathrm{e}^x-ax$，其中 $a$ 为实数.

(1) 若 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是单调减函数，且 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围； (2) 若 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是单调增函数，试求 $f(x)$ 的零点个数，并证明你的结论.