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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简，计算：
(1) −2mnm−3n(m+3n)22mn−6\dfrac{-2mn}{m-3n}\sqrt{\dfrac{\left(m+3n\right)^2}{2mn}}-6（0<m<3n0<m<3n）； (2) (14)−1.5⋅[(711)0]−3−(35)−2÷(279)12\left(\dfrac14\right)^{-1.5}\cdot\left[\left(\dfrac7{11}\right)^0\right]^{-3}-\left(\dfrac35\right)^{-2}\div\left(2\dfrac79\right)^{\frac12}.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 1 题 · 解答题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
在实数范围内分解因式：
(1) a4−10a2+16a^4-10a^2+16； (2) x2−4xy+4y2−3x+6y+2x^2-4xy+4y^2-3x+6y+2.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 2 题 · 解答题

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03不等式★★★★☆
求 xx：
(1) 2x+1x−3−5x−11x2−4x+3=3x−1\dfrac{2x+1}{x-3}-\dfrac{5x-11}{x^2-4x+3}=\dfrac3{x-1}. (2) 2x−4−x+5=1\sqrt{2x-4}-\sqrt{x+5}=1. (3) log⁡x−1(2x2−3x−1)=2\log_{x-1}\left(2x^2-3x-1\right)=2.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 3 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
求下列函数的定义域：
(1) y=11−x−1y=\dfrac1{1-\sqrt{x-1}}； (2) y=lg⁡(tan⁡x)y=\lg\left(\tan x\right).

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
不查表：
(1) 求 41−log⁡225+log⁡224^{1-\log_2\dfrac25+\log_2\sqrt2}. (2) 解三角形：已知 △ABC\triangle ABC 中，∠B=120∘\angle B=120^\circ，∠C=15∘\angle C=15^\circ，b=100b=100，求 cc（可用根式表示结果）. (3) 将直角坐标方程 x2−y2=a2x^2-y^2=a^2 化成极坐标方程.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 5 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的 ∠A\angle A 的平分线交 BCBC 于 DD，延长 ADAD 交三角形的外接圆于 EE，求证：AB⋅AC=AD⋅AEAB\cdot AC=AD\cdot AE.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 6 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的底面边长是 6 cm6\mathrm{~cm}，侧面与底面所成的角是 60∘60^\circ，求它的体积（结果可用根式表示）.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 7 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为三角形的三条边，求证：b2x2+(b2+c2−a2)x+c2=0b^2x^2+\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2=0 无实数根.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 8 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
方程 x2−(tan⁡θ+cot⁡θ)x+1=0x^2-\left(\tan\theta+\cot\theta\right)x+1=0 有一根为 2+32+\sqrt3，求 sin⁡2θ\sin 2\theta.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 9 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
汽车与自行车分别从相距 75 km75\mathrm{~km} 的 AA，BB 两地同时出发（AA 地在 BB 地的正东方向），汽车从 AA 地向正西方向行驶，自行车从 BB 地向正南方向行驶，已知汽车和自行车的速度分别为 30 km/h30\mathrm{~km/h} 和 15 km/h15\mathrm{~km/h}，问出发后多少小时两车相距最短？

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 10 题 · 解答题

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11数列★★☆☆☆
已知等差数列有 1010 项，偶数项之和为 5555，奇数项之和为 4545，求此数列的第五项.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 11 题 · 解答题

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12解析几何★★★☆☆
一动点到直线 x=8x=8 的距离是它到点 A(2,0)A\left(2,0\right) 的距离的 22 倍.
(1) 求这动点的轨迹方程； (2) 判断这轨迹是何曲线； (3) 求经过这曲线上一点 B(2,3)B\left(2,3\right) 的切线方程.

1977 · 江苏 · 南通市 · 第 12 题 · 解答题

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