给定双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.

(1) 过点 $A(2,1)$ 的直线 $L$ 与所给的双曲线交于两点 $P_{1}$ 及 $P_{2}$，求线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹方程； (2) 过点 $B(1,1)$ 能否作直线 $m$，使 $m$ 与所给双曲线交于两点 $Q_{1}$ 及 $Q_{2}$，且点 $B$ 是线段 $Q_{1}Q_{2}$ 的中点？ 这样的直线 $m$ 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.