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10
数列
★★★★☆
已知以
A
B
AB
A
B
为直径的半圆有一个内接正方形
C
D
E
F
CDEF
C
D
E
F
，其边长为
1
1
1
（如图）. 设
A
C
=
a
AC = a
A
C
=
a
，
B
C
=
b
BC = b
B
C
=
b
，作数列
u
1
=
a
−
b
u_1 = a - b
u
1
=
a
−
b
，
u
2
=
a
2
−
a
b
+
b
2
u_2 = a^2 - ab + b^2
u
2
=
a
2
−
ab
+
b
2
，
u
3
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
−
b
3
u_3 = a^3 - a^2b + ab^2 - b^3
u
3
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
−
b
3
，
⋯
\cdots
⋯
，
u
k
=
a
k
−
a
k
−
1
b
+
a
k
−
2
b
2
−
⋯
+
(
−
1
)
k
b
k
u_k = a^k - a^{k-1}b + a^{k-2}b^2 - \cdots + (-1)^k b^k
u
k
=
a
k
−
a
k
−
1
b
+
a
k
−
2
b
2
−
⋯
+
(
−
1
)
k
b
k
；求证：
u
n
=
u
n
−
1
+
u
n
−
2
u_n = u_{n-1} + u_{n-2}
u
n
=
u
n
−
1
+
u
n
−
2
（
n
⩾
3
n \geqslant 3
n
⩾
3
）.
1981 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题
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