给出下列三个命题：

① 若 $a \geqslant b > -1$，则 $\frac{a}{1 + a} \geqslant \frac{b}{1 + b}$； ② 若正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m \leqslant n$，则 $\sqrt{m(n - m)} \leqslant \frac{n}{2}$； ③ 设 $P(x_{1}, y_{1})$ 为圆 $O_{1}: x^{2} + y^{2} = 9$ 上任一点，圆 $O_{2}$ 以 $Q(a, b)$ 为圆心且半径为 $1$. 当 $(a - x_{1})^{2} + (b - y_{1})^{2} = 1$ 时，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 相切.

其中假命题的个数为（$\quad$）

已知 $m \in \mathbf{R}$. 设 $P$： $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2 - ax - 2 = 0$ 的两个实根，不等式 $|m^2 - 5m - 3| \geqslant |x_1 - x_2|$ 对任意实数 $a \in [-1, 1]$ 恒成立； $Q$：函数 $f(x) = x^3 + mx^2 + \left(m + \frac{4}{3}\right)x + 6$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 上有极值. 求使 $P$ 正确且 $Q$ 正确的 $m$ 的取值范围.