函数 $y = A \sin (\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$，$x \in \mathbf{R}$）的部分图象如图所示，则函数表达式为（$\quad$）

已知 $\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$，求 $\sin \alpha$ 及 $\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right)$.

某人在一山坡 $P$ 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 $BC = 80\mathrm{~m}$，塔所在的山高 $OB = 220\mathrm{~m}$，$OA = 200\mathrm{~m}$. 图中所示的山坡可视为直线 $l$ 且点 $P$ 在直线 $l$ 上，$l$ 与水平地面的夹角为 $\alpha$，$\tan \alpha = \frac{1}{2}$. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大？ （不计此人的身高）