已知 $\left|\boldsymbol{a}\right| = 2$，$\left|\boldsymbol{b}\right| = 4$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，以 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,1)$ 和点 $B(-3,4)$. 若点 $C$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上且 $\left|\overrightarrow{OC}\right| = 2$，则 $\overrightarrow{OC} =\underline{\hspace{2em}}$.

某人在一山坡 $P$ 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 $BC = 80\mathrm{~m}$，塔所在的山高 $OB = 220\mathrm{~m}$，$OA = 200\mathrm{~m}$. 图中所示的山坡可视为直线 $l$ 且点 $P$ 在直线 $l$ 上，$l$ 与水平地面的夹角为 $\alpha$，$\tan \alpha = \frac{1}{2}$. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大？ （不计此人的身高）

抛物线 $C$ 的方程为 $y = ax^{2}$（$a < 0$），过抛物线 $C$ 上一点 $P(x_{0}, y_{0})$（$x_{0} \neq 0$）作斜率为 $k_{1}$，$k_{2}$ 的两条直线分别交抛物线 $C$ 于 $A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$ 两点（$P$，$A$，$B$ 三点互不相同），且满足 $k_{2} + \lambda k_{1} = 0$（$\lambda \neq 0$，$\lambda \neq -1$）.

(1) 求抛物线 $C$ 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 $AB$ 上一点 $M$，满足 $\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MA}$，证明线段 $PM$ 的中点在 $y$ 轴上； (3) 当 $\lambda = 1$ 时，若点 $P$ 的坐标为 $(1, -1)$，求 $\angle PAB$ 为钝角时点 $A$ 的纵坐标 $y_{1}$ 的取值范围.