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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=3sin⁡(x2+π3)y=3\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right) 的周期，振幅依次是（ ）
A.
4π,34\pi,3
B.
4π4\pi，−3-3
C.
π\pi，33
D.
π\pi，−3-3

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★☆☆☆☆
若 SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 Sn=n2S_n=n^2，则 {an}\{a_n\} 是（ ）
A.
等比数列，但不是等差数列
B.
等差数列，但不是等比数列
C.
等差数列，而且也是等比数列
D.
既非等比数列又非等差数列

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
过点 A(1,−1)A(1,-1)，B(−1,1)B(-1,1) 且圆心在直线 x+y−2=0x+y-2=0 上的圆的方程是（ ）
A.
(x−3)2+(y+1)2=4(x-3)^2+(y+1)^2=4
B.
(x+3)2+(y−1)2=4(x+3)^2+(y-1)^2=4
C.
(x−1)2+(y−1)2=4(x-1)^2+(y-1)^2=4
D.
(x+1)2+(y+1)2=4(x+1)^2+(y+1)^2=4

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若定义在区间 (−1,0)(-1,0) 内的函数 f(x)=log⁡2a(x+1)f(x)=\log_{2a}(x+1) 满足 f(x)>0f(x)>0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,12)\left(0,\frac{1}{2}\right)
B.
(0,12]\left(0,\frac{1}{2}\right]
C.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2},+\infty\right)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，c=(−1,2)\boldsymbol{c}=(-1,2)，则 c=\boldsymbol{c}=（ ）
A.
−12a+32b-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{2}\boldsymbol{b}
B.
12a−32b\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}
C.
32a−12b\frac{3}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}
D.
−32a+12b-\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
设 AA，BB 是 xx 轴上的两点，点 PP 的横坐标为 22 且 ∣PA∣=∣PB∣\lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert. 若直线 PAPA 的方程为 x−y+1=0x-y+1=0，则直线 PBPB 的方程是（ ）
A.
x+y−5=0x+y-5=0
B.
2x−y−1=02x-y-1=0
C.
2y−x−4=02y-x-4=0
D.
2x+y−7=02x+y-7=0

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
若 0<α<β<π40<\alpha<\beta<\frac{\pi}{4}，sin⁡α+cos⁡α=a\sin\alpha+\cos\alpha=a，sin⁡β+cos⁡β=b\sin\beta+\cos\beta=b，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<1ab<1
D.
ab>2ab>2

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★☆☆☆
函数 y=1+3x−x3y=1+3x-x^3 有（ ）
A.
极小值 −1-1，极大值 11
B.
极小值 −2-2，极大值 33
C.
极小值 −2-2，极大值 22
D.
极小值 −1-1，极大值 33

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得 3 分3\text{ 分}；平一场，得 1 分1\text{ 分}；负一场，得 0 分0\text{ 分}. 一球队打完 15 场15\text{ 场}，积 33 分33\text{ 分}. 若不考虑顺序，该队胜，负，平的情况共有（ ）
A.
3 种3\text{ 种}
B.
4 种4\text{ 种}
C.
5 种5\text{ 种}
D.
6 种6\text{ 种}

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
设坐标原点为 OO，抛物线 y2=2xy^2=2x 与过焦点的直线交于 AA，BB 两点，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
33
D.
−3-3

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法，分别是：
① 单向倾斜； ② 双向倾斜； ③ 四向倾斜.
记三种盖法屋顶面积分别为 P1P_1，P2P_2，P3P_3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α\alpha，则（ ）
=0pt =0pt
A.
P3>P2>P1P_3>P_2>P_1
B.
P3>P2=P1P_3>P_2=P_1
C.
P3=P2>P1P_3=P_2>P_1
D.
P3=P2=P1P_3=P_2=P_1

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12计数原理与组合数学★★★★☆
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 AA 向结点 BB 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递. 则单位时间内传递的最大信息量是（ ）
A.
2626
B.
2424
C.
2020
D.
1919

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13复数★★☆☆☆
若复数 z=2+6 iz=\sqrt{2}+\sqrt{6}\,\mathrm{i}，则 arg⁡1z\arg\dfrac{1}{z} 等于______.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
一个袋子里装有大小相同的 3 个3\text{ 个} 红球和 2 个2\text{ 个} 黄球. 从中同时取出 2 个2\text{ 个}，则其中含红球个数的数学期望是______.

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15立体几何初步★★☆☆☆
在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是______.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，SnS_n 是它的前 nn 项和. 若 ∣Sn∣\lvert S_n\rvert 是等差数列，则 q=‾q=\underline{\hspace{2em}}.

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17不等式★★★☆☆
解关于 xx 的不等式 x−ax−a2<0\dfrac{x-a}{x-a^2}<0（a∈Ra\in\mathbf{R}）.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
如图，用 AA，BB，CC 三类不同的元件连接成两个系统 N1N_1，N2N_2.
(1) 当元件 AA，BB，CC 都正常工作时，系统 N1N_1 正常工作； (2) 当元件 AA 正常工作且元件 BB，CC 至少有一个正常工作时，系统 N2N_2 正常工作.
已知元件 AA，BB，CC 正常工作的概率依次为 0.800.80，0.900.90，0.900.90. 分别求系统 N1N_1，N2N_2 正常工作的概率 P1P_1，P2P_2.
=0pt =0pt

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
设 a>0a>0，f(x)=exa+aexf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{a}+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x} 是 R\mathbf{R} 上的偶函数.
(1) 求 aa 的值； (2) 证明 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，以正四棱锥 V−ABCDV-ABCD 底面中心 OO 为坐标原点建立空间直角坐标系 O−xyzO-xyz，其中 Ox∥BCOx\parallel BC，Oy∥ABOy\parallel AB. EE 为 VCVC 中点，正四棱锥底面边长为 2a2a，高为 h0h_0.
(1) 求 cos⁡⟨BE→,DE→⟩\cos\langle\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}\rangle； (2) 记面 BCVBCV 为 α\alpha，面 DCVDCV 为 β\beta，若 ∠BED\angle BED 是二面角 α−VC−β\alpha-VC-\beta 的平面角，求 ∠BED\angle BED.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题（甲） · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S−ABCDS-ABCD 中，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，SA⊥面 ABCDSA\perp\text{面 }ABCD，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD=12AD=\frac12.
(1) 求四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的体积； (2) 求面 SCDSCD 与面 SBASBA 所成的二面角的正切值.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题（乙） · 解答题

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21解析几何★★★★☆
某电厂冷却塔的外形如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所形成的曲面，其中 AA，A′A' 是双曲线的顶点，CC，C′C' 是冷却塔上口直径的两个端点，BB，B′B' 是下底直径的两个端点，已知 AA′=14 mAA'=14\mathrm{~m}，CC′=18 mCC'=18\mathrm{~m}，BB′=22 mBB'=22\mathrm{~m}，塔高 20 m20\mathrm{~m}.
(1) 建立坐标系并写出该双曲线方程； (2) 求冷却塔的容积（精确到 10 m310\mathrm{~m^3}，塔壁厚度不计，π\pi 取 3.143.14）.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}，曲线 x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1x^2\sin\theta+y^2\cos\theta=1 和 x2cos⁡θ−y2sin⁡θ=1x^2\cos\theta-y^2\sin\theta=1 有 44 个不同的交点.
(1) 求 θ\theta 的取值范围； (2) 证明这 44 个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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