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01复数★☆☆☆☆
已知 z=(m+3)+(m−1)iz=(m+3)+(m-1)\mathrm{i} 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−3,1)(-3,1)
B.
(−1,3)(-1,3)
C.
(1,+∞)(1,+\infty)
D.
(−∞,−3)(-\infty,-3)

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，B={x∣(x+1)(x−2)<0, x∈Z}B=\{x\mid(x+1)(x-2)<0,\ x\in\mathbf{Z}\}，则 A∪BA\cup B 等于（ ）
A.
{1}\{1\}
B.
{1,2}\{1,2\}
C.
{0,1,2,3}\{0,1,2,3\}
D.
{−1,0,1,2,3}\{-1,0,1,2,3\}

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,m)\boldsymbol{a}=(1,m)，b=(3,−2)\boldsymbol{b}=(3,-2)，且 (a+b)⊥b(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}，则 m=m=（ ）
A.
−8-8
B.
−6-6
C.
66
D.
88

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−2x−8y+13=0x^2+y^2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y−1=0ax+y-1=0 的距离为 11，则 a=a=（ ）
A.
−43-\dfrac43
B.
−34-\dfrac34
C.
3\sqrt3
D.
22

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，小明从街道的 EE 处出发，先到 FF 处与小红会合，再一起到位于 GG 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A.
2424
B.
1818
C.
1212
D.
99

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.
20π20\pi
B.
24π24\pi
C.
28π28\pi
D.
32π32\pi

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07三角函数★★☆☆☆
若将函数 y=2sin⁡2xy=2\sin2x 的图象向左平移 π12\dfrac{\pi}{12} 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A.
x=kπ2−π6x=\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
B.
x=kπ2+π6x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
C.
x=kπ2−π12x=\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
D.
x=kπ2+π12x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}（k∈Zk\in\mathbf{Z}）

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08函数与初等函数★★☆☆☆
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的 x=2x=2，n=2n=2，依次输入的 aa 为 22，22，55，则输出的 s=s=（ ）
A.
77
B.
1212
C.
1717
D.
3434

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡ ⁣(π4−α)=35\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac35，则 sin⁡2α=\sin2\alpha=（ ）
A.
725\dfrac{7}{25}
B.
15\dfrac15
C.
−15-\dfrac15
D.
−725-\dfrac{7}{25}

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10概率与统计★★☆☆☆
从区间 [0,1][0,1] 随机抽取 2n2n 个数 x1x_1，x2x_2，…\dots，xnx_n，y1y_1，y2y_2，…\dots，yny_n.
将其构成 nn 个数对 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2)，…\dots，(xn,yn)(x_n,y_n).
其中两数的平方和小于 11 的数对共有 mm 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π\pi 的近似值为（ ）
A.
4nm\dfrac{4n}{m}
B.
2nm\dfrac{2n}{m}
C.
4mn\dfrac{4m}{n}
D.
2mn\dfrac{2m}{n}

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11解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是双曲线 E:x2a2−y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的左，右焦点，点 MM 在 EE 上，MF1⊥xMF_1\perp x 轴，sin⁡∠MF2F1=13\sin\angle MF_2F_1=\dfrac13，则 EE 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
32\dfrac32
C.
3\sqrt3
D.
22

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x)（x∈Rx\in\mathbf{R}）满足 f(−x)=2−f(x)f(-x)=2-f(x)，若函数 y=x+1xy=\dfrac{x+1}{x} 与 y=f(x)y=f(x) 图象的交点为 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2)，…\dots，(xm,ym)(x_m,y_m)，则 ∑i=1m(xi+yi)=\displaystyle\sum_{i=1}^m(x_i+y_i)=（ ）
A.
00
B.
mm
C.
2m2m
D.
4m4m

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 cos⁡A=45\cos A=\dfrac45，cos⁡C=513\cos C=\dfrac{5}{13}，a=1a=1，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

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14立体几何初步★★★☆☆
α\alpha，β\beta 是两个平面，mm，nn 是两条直线，有下列四个命题：
① 如果 m⊥nm\perp n，m⊥αm\perp\alpha，n∥βn\parallel\beta，那么 α⊥β\alpha\perp\beta； ② 如果 m⊥αm\perp\alpha，n∥αn\parallel\alpha，那么 m⊥nm\perp n； ③ 如果 α∥β\alpha\parallel\beta，m⊂αm\subset\alpha，那么 m∥βm\parallel\beta； ④ 如果 m∥nm\parallel n，α∥β\alpha\parallel\beta，那么 mm 与 α\alpha 所成的角和 nn 与 β\beta 所成的角相等.
其中正确的命题是______.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
有三张卡片，分别写有 11 和 22，11 和 33，22 和 33. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 22”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 11”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是 55”；则甲的卡片上的数字是______.

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16导数及其应用★★★★☆
若直线 y=kx+by=kx+b 是曲线 y=ln⁡x+2y=\ln x+2 的切线，也是曲线 y=ln⁡(x+1)y=\ln(x+1) 的切线，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

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17数列★★★☆☆
SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 a1=1a_1=1，S7=28S_7=28，记 bn=[lg⁡an]b_n=[\lg a_n]，其中 [x][x] 表示不超过 xx 的最大整数，如 [0.9]=0[0.9]=0，[lg⁡99]=1[\lg99]=1.
(1) 求 b1b_1，b11b_{11}，b101b_{101}； (2) 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 10001000 项和.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某险种的基本保费为 aa（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数0011223344≥5\geq 5
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数0011223344≥5\geq 5
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%60\% 的概率； (3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，菱形 ABCDABCD 的对角线 ACAC 与 BDBD 交于点 OO，AB=5AB=5，AC=6AC=6，点 EE，FF 分别在 ADAD，CDCD 上，AE=CF=54AE=CF=\dfrac54，EFEF 交 BDBD 于点 HH，将 △DEF\triangle DEF 沿 EFEF 折到 △D′EF\triangle D'EF 的位置，OD′=10OD'=\sqrt{10}.
(1) 证明：D′H⊥D'H\perp 平面 ABCDABCD； (2) 求二面角 B−D′A−CB-D'A-C 的正弦值.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2t+y23=1E:\dfrac{x^2}{t}+\dfrac{y^2}{3}=1，焦点在 xx 轴上，AA 是 EE 的左顶点，斜率为 kk（k>0k>0）的直线交 EE 于 AA，MM 两点，点 NN 在 EE 上，且 MA⊥NAMA\perp NA.
(1) 当 t=4t=4，∣AM∣=∣AN∣\lvert AM\rvert=\lvert AN\rvert 时，求 △AMN\triangle AMN 的面积； (2) 当 2∣AM∣=∣AN∣2\lvert AM\rvert=\lvert AN\rvert 时，求 kk 的取值范围.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
(1) 讨论函数 f(x)=x−2x+2exf(x)=\dfrac{x-2}{x+2}\mathrm{e}^x 的单调性，并证明当 x>0x>0 时，(x−2)ex+x+2>0(x-2)\mathrm{e}^x+x+2>0. (2) 证明：当 a∈[0,1)a\in[0,1) 时，函数 g(x)=ex−ax−ax2g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-ax-a}{x^2}（x>0x>0）有最小值. 设 g(x)g(x) 的最小值为 h(a)h(a)，求函数 h(a)h(a) 的值域.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在正方形 ABCDABCD 中，EE，GG 分别在边 DADA，DCDC 上（不与端点重合），且 DE=DGDE=DG，过 DD 点作 DF⊥CEDF\perp CE，垂足为 FF.
(1) 证明：BB，CC，GG，FF 四点共圆； (2) 若 AB=1AB=1，EE 为 DADA 的中点，求四边形 BCGFBCGF 的面积.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的方程为 (x+6)2+y2=25(x+6)^2+y^2=25.
(1) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 CC 的极坐标方程； (2) 直线 ll 的参数方程是
{x=tcos⁡α,y=tsin⁡α,\begin{cases} x=t\cos\alpha,\\ y=t\sin\alpha, \end{cases}
（tt 为参数），ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=10\lvert AB\rvert=\sqrt{10}，求 ll 的斜率.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−12∣+∣x+12∣f(x)=\lvert x-\dfrac12\rvert+\lvert x+\dfrac12\rvert，MM 为不等式 f(x)<2f(x)<2 的解集.
(1) 求 MM； (2) 证明：当 aa，b∈Mb\in M 时，∣a+b∣<∣1+ab∣\lvert a+b\rvert<\lvert 1+ab\rvert.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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