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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 S={x∣(x−2)(x−3)≥0}S=\{x\mid (x-2)(x-3)\ge0\}，T={x∣x>0}T=\{x\mid x>0\}，则 S∩T=S\cap T=（ ）
A.
[2,3][2,3]
B.
(−∞,2]∪[3,+∞)(-\infty,2]\cup[3,+\infty)
C.
[3,+∞)[3,+\infty)
D.
(0,2]∪[3,+∞)(0,2]\cup[3,+\infty)

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若 z=1+2iz=1+2\mathrm{i}，则 4iz⋅z‾−1=\dfrac{4\mathrm{i}}{z\cdot \overline z-1}=（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 BA→=(12,32)\overrightarrow{BA}=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，BC→=(32,12)\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)，则 ∠ABC=\angle ABC=（ ）
A.
30∘30^\circ
B.
45∘45^\circ
C.
60∘60^\circ
D.
120∘120^\circ

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中 AA 点表示十月的平均最高气温约为 15∘C15^\circ\mathrm{C}，BB 点表示四月的平均最低气温约为 5∘C5^\circ\mathrm{C}. 下面叙述不正确的是（ ）
A.
各月的平均最低气温都在 0∘C0^\circ\mathrm{C} 以上
B.
七月的平均温差比一月的平均温差大
C.
三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.
平均气温高于 20∘C20^\circ\mathrm{C} 的月份有 55 个

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
若 tan⁡α=34\tan\alpha=\dfrac34，则 cos⁡2α+2sin⁡2α=\cos^2\alpha+2\sin 2\alpha=（ ）
A.
6425\dfrac{64}{25}
B.
4825\dfrac{48}{25}
C.
11
D.
1625\dfrac{16}{25}

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=243a=2^{\frac{4}{3}}，b=425b=4^{\frac{2}{5}}，c=2513c=25^{\frac{1}{3}}，则（ ）
A.
b<a<cb<a<c
B.
a<b<ca<b<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

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07函数与初等函数★★☆☆☆
执行下图的程序框图，如果输入的 a=4a=4，b=6b=6，那么输出的 n=n=（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

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08三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，B=π4B=\dfrac{\pi}{4}，BCBC 边上的高等于 13BC\dfrac13BC，则 cos⁡A=\cos A=（ ）
A.
31010\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
B.
1010\dfrac{\sqrt{10}}{10}
C.
−1010-\dfrac{\sqrt{10}}{10}
D.
−31010-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上小正方形的边长为 11，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A.
18+36518+36\sqrt5
B.
54+18554+18\sqrt5
C.
9090
D.
8181

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
在封闭的直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 内有一个体积为 VV 的球，若 AB⊥BCAB\perp BC，AB=6AB=6，BC=8BC=8，AA1=3AA_1=3，则 VV 的最大值是（ ）
A.
4π4\pi
B.
9π2\dfrac{9\pi}{2}
C.
6π6\pi
D.
32π3\dfrac{32\pi}{3}

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，FF 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点，PP 为 CC 上一点，且 PF⊥xPF\perp x 轴，过点 AA 的直线 ll 与线段 PFPF 交于点 MM，与 yy 轴交于点 EE. 若直线 BMBM 经过 OEOE 的中点，则 CC 的离心率为（ ）
A.
13\dfrac13
B.
12\dfrac12
C.
23\dfrac23
D.
34\dfrac34

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
定义“规范 0101 数列”{an}\{a_n\} 如下：{an}\{a_n\} 共有 2m2m 项，其中 mm 项为 00，mm 项为 11，且对任意 k≤2mk\le2m，a1a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 中 00 的个数不少于 11 的个数. 若 m=4m=4，则不同的“规范 0101 数列”共有（ ）
A.
1818 个
B.
1616 个
C.
1414 个
D.
1212 个

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1≥0,x−2y≤0,x+2y−2≤0\begin{cases} x-y+1\ge0,\\ x-2y\le0,\\ x+2y-2\le0 \end{cases}
， 则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

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14三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡x−3cos⁡xy=\sin x-\sqrt3\cos x 的图象可由函数 y=sin⁡x+3cos⁡xy=\sin x+\sqrt3\cos x 的图象至少向右平移______ 个单位长度得到.

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15导数及其应用★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为偶函数，当 x<0x<0 时，f(x)=ln⁡(−x)+3xf(x)=\ln(-x)+3x，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,−3)(1,-3) 处的切线方程是______.

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16解析几何★★★★☆
已知直线 l:mx+y+3m−3=0l:mx+y+3m-\sqrt3=0 与圆 x2+y2=12x^2+y^2=12 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 分别做 ll 的垂线与 xx 轴交于 CC，DD 两点，若 AB=23AB=2\sqrt3，则 ∣CD∣=‾|CD|=\underline{\hspace{2em}}.

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=1+λanS_n=1+\lambda a_n，其中 λ≠0\lambda\ne0；
(1) 证明 {an}\{a_n\} 是等比数列，并求其通项公式； (2) 若 S5=3132S_5=\dfrac{31}{32}，求 λ\lambda.

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18概率与统计★★★☆☆
下图是我国 20082008 年至 20142014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码 11 到 77 分别对应年份 20082008 到 20142014.
参考数据：∑i=17yi=9.32\sum_{i=1}^{7}y_i=9.32，∑i=17tiyi=40.17\sum_{i=1}^{7}t_iy_i=40.17，∑i=17(yi−yˉ)2=0.55\sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_i-\bar y\right)^2}=0.55，7≈2.646\sqrt7\approx2.646.
参考公式：相关系数 r=∑i=1n(ti−tˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(ti−tˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)^2\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\bar y\right)^2}}，回归方程 y^=a^+b^t\hat y=\hat a+\hat b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^=∑i=1n(ti−tˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(ti−tˉ)2\hat b=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)^2}，a^=yˉ−b^tˉ\hat a=\bar y-\hat b\bar t.
(1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 yy 与 tt 的关系，请用相关系数加以说明； (2) 建立 yy 关于 tt 的回归方程（系数精确到 0.010.01），预测 20162016 年我国生活垃圾无害化处理量.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，AD∥BCAD\parallel BC，AB=AD=AC=3AB=AD=AC=3，PA=BC=4PA=BC=4，MM 为线段 ADAD 上一点，AM=2MDAM=2MD，NN 为 PCPC 的中点.
(1) 证明 MN∥MN\parallel 平面 PABPAB； (2) 求直线 ANAN 与平面 PMNPMN 所成角的正弦值.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x 的焦点为 FF，平行于 xx 轴的两条直线 l1l_1，l2l_2 分别交 CC 于 AA，BB 两点，交 CC 的准线于 PP，QQ 两点.
(1) 若 FF 在线段 ABAB 上，RR 是 PQPQ 的中点，证明 AR∥FQAR\parallel FQ； (2) 若 △PQF\triangle PQF 的面积是 △ABF\triangle ABF 的面积的两倍，求 ABAB 中点的轨迹方程.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=αcos⁡2x+(α−1)(cos⁡x+1)f(x)=\alpha\cos 2x+(\alpha-1)(\cos x+1)，其中 α>0\alpha>0，记 ∣f(x)∣|f(x)| 的最大值为 AA.
(1) 求 f′(x)f'(x)； (2) 求 AA； (3) 证明 ∣f′(x)∣≤2A|f'(x)|\le2A.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，⊙O\odot O 中 AB⌢\overset{\frown}{AB} 的中点为 PP，弦 PCPC，PDPD 分别交 ABAB 于 EE，FF 两点.
(1) 若 ∠PFB=2∠PCD\angle PFB=2\angle PCD，求 ∠PCD\angle PCD 的大小； (2) 若 ECEC 的垂直平分线与 FDFD 的垂直平分线交于点 GG，证明 OG⊥CDOG\perp CD.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=3cos⁡α,y=sin⁡α\begin{cases} x=\sqrt3\cos\alpha,\\ y=\sin\alpha \end{cases}
（α\alpha 为参数）；以坐标原点为极点，以 xx 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π4)=22\rho\sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=2\sqrt2.
(1) 写出 C1C_1 的普通方程和 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 设点 PP 在 C1C_1 上，点 QQ 在 C2C_2 上，求 ∣PQ∣|PQ| 的最小值及此时 PP 的直角坐标.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣2x−a∣+af(x)=|2x-a|+a.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≤6f(x)\le6 的解集； (2) 设函数 g(x)=∣2x−1∣g(x)=|2x-1|，当 x∈Rx\in\mathbf{R} 时，f(x)+g(x)≥3f(x)+g(x)\ge3，求 aa 的取值范围.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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