已知函数 $f(x) = ax^2 + 1$ （$a > 0$），$g(x) = x^3 + bx$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = g(x)$ 在它们的交点 $(1, c)$ 处具有公共切线，求 $a$，$b$ 的值； (2) 当 $a = 3$，$b = -9$ 时，若函数 $f(x) + g(x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为 28，求 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $(1,c)$ 同时在两条曲线上，所以 $a+1=c=1+b$，从而 $a=b$. 两条曲线在该点具有公共切线，说明导数值相等，即 $f'(1)=2a$，$g'(1)=3+b$，所以 $2a=3+b$. 联立 $a=b$ 得 $a=b=3$.

\item 令 $h(x)=f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1$，则 $h'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. 因此 $h$ 在 $(-\infty,-3)$ 上递增，在 $(-3,1)$ 上递减，在 $(1,+\infty)$ 上递增. 又 $h(-3)=28$，$h(1)=-4$，$h(2)=3$. 区间 $[k,2]$ 要有意义，需 $k\leqslant2$. 当 $k\leqslant-3$ 时，区间 $[k,2]$ 包含 $x=-3$，且由上述单调性，$h(x)$ 在该区间上的最大值为 $h(-3)=28$. 当 $-3<k\leqslant2$ 时，区间不含 $-3$，在 $[k,1]$ 上函数递减、在 $[1,2]$ 上函数递增，且 $h(k)<28$、$h(2)=3<28$，故最大值严格小于 $28$. 所以 $k\in(-\infty,-3]$. \end{enumerate} \end{solution}