已知集合 $A = \{x \in \mathbf{R} \mid 3x + 2 > 0\}$，$B = \{x \in \mathbf{R} \mid (x + 1)(x - 3) > 0\}$，则 $A \cap B =$（ ）

设不等式组

表示的平面区域为 $D$. 在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 $2$ 的概率是（ ）

已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）

已知 $f(x) = m(x - 2m)(x + m + 3)$，$g(x) = 2^{x} - 2$. 若 $\forall x \in \mathbf{R}$，$f(x) < 0$ 或 $g(x) < 0$，则 $m$ 的取值范围是______.

近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $1000\text{ 吨}$ 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a$，$b$，$c$，其中 $a > 0$，$a + b + c = 600$. 当数据 $a$，$b$，$c$ 的方差 $s^2$ 最大时，写出 $a$，$b$，$c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^2$ 的值.

（注：$s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]$，其中 $\overline{x}$ 为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的平均数）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 $400+100+100=600$ 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 $400$ 吨，所以估计正确投放的概率为 $\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}$.

\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 $100+100+30+30+20+20=300$ 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 $\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}$.

\item 由于 $a$，$b$，$c$ 是投放量，$b$，$c\geqslant0$. 它们的平均数为 $\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200$，所以 在 $a$，$b$，$c\geqslant0$ 且 $a+b+c=600$ 时， $a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000$，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 $a>0$，方差最大时 $a=600$，$b=c=0$，并且 $s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000$. \end{enumerate} \end{solution}

设 $A$ 是如下形式的 2 行 3 列的数表，

满足性质 $P$：$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f \in [-1, 1]$，且 $a + b + c + d + e + f = 0$. 记 $r_i(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 （$i = 1$，$2$），$c_j(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 （$j = 1$，$2$，$3$）；记 $k(A)$ 为 $|r_1(A)|$，$|r_2(A)|$，$|c_1(A)|$，$|c_2(A)|$，$|c_3(A)|$ 中的最小值.

(1) 对如下数表 $A$，求 $k(A)$ 的值；

(2) 设数表 $A$ 形如

其中 $-1 \leqslant d \leqslant 0$. 求 $k(A)$ 的最大值； (3) 对所有满足性质 $P$ 的 2 行 3 列的数表 $A$，求 $k(A)$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 该数表的两行和分别为 $1.2$ 和 $-1.2$，三列和分别为 $1.1$，$0.7$ 和 $-1.8$. 所以 $k(A)=\min\{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8\}=0.7$.

\item 该数表的行和、列和分别为 $r_1=1-2d$，$r_2=-1+2d$，$c_1=c_2=1+d$，$c_3=-2-2d$. 因为 $-1\leqslant d\leqslant0$，有 $|r_1|=|r_2|=1-2d\geqslant1+d\geqslant0$，且 $|c_3|=2(1+d)\geqslant1+d$. 因此 $k(A)=1+d$，其最大值在 $d=0$ 时取得，最大值为 $1$.

\item 交换两行、交换三列以及同时将全部元素变号，都不改变 $k(A)$. 三个列和的总和为零，所以至少有两个列和同为非负数或同为非正数；通过交换列并在必要时将全部元素变号，可设所选两列为 $c_1\geqslant0$、$c_2\geqslant0$. 再交换两行，可设 $r_1\geqslant0$. 因而 $k(A)\leqslant r_1$，$k(A)\leqslant c_1$，$k(A)\leqslant c_2$，从而 所以 $k(A)\leqslant1$. 第（2）问取 $d=0$ 时，数表仍满足性质 $P$，且 $k(A)=1$，故所有满足性质 $P$ 的数表中 $k(A)$ 的最大值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}