设不等式组

表示的平面区域为 $D$. 在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 $2$ 的概率是（ ）

近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $1000\text{ 吨}$ 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a$，$b$，$c$，其中 $a > 0$，$a + b + c = 600$. 当数据 $a$，$b$，$c$ 的方差 $s^2$ 最大时，写出 $a$，$b$，$c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^2$ 的值.

（注：$s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]$，其中 $\overline{x}$ 为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的平均数）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 $400+100+100=600$ 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 $400$ 吨，所以估计正确投放的概率为 $\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}$.

\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 $100+100+30+30+20+20=300$ 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 $\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}$.

\item 由于 $a$，$b$，$c$ 是投放量，$b$，$c\geqslant0$. 它们的平均数为 $\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200$，所以 在 $a$，$b$，$c\geqslant0$ 且 $a+b+c=600$ 时， $a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000$，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 $a>0$，方差最大时 $a=600$，$b=c=0$，并且 $s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000$. \end{enumerate} \end{solution}