如图 1，在
Rt△ABC 中，
∠C=90∘，
D，
E 分别是
AC，
AB 的中点，点
F 为线段
CD 上的一点，将
△ADE 沿
DE 折起到
△A1DE 的位置，使
A1F⊥CD，如图 2.
(1) 求证：
DE∥平面 A1CB；
(2) 求证：
A1F⊥BE；
(3) 线段
A1B 上是否存在点
Q，使
A1C⊥平面 DEQ？说明理由.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 因为
D，
E 分别是
AC，
AB 的中点，所以在折叠前
DE∥BC，折叠后
DE 和
BC 的位置均不变，仍有
DE∥BC. 又
BC⊂平面 A1CB. 只需证明
DE 不在该平面内.
若
DE⊂平面 A1CB，则平面
A1CB 与折叠前的平面
ABC 都含有两条互相平行且不重合的直线
DE 和
BC，从而两平面重合，故
A1∈平面 ABC. 由于
DE⊥AC，且
D 是
AC 的中点，点
A 绕折痕
DE 后仍落在平面
ABC 内时只能处于原位置
A 或关于
DE 的对称位置
C. 这两种情形下
A1F 均与
CD 共线或退化，不可能满足
A1F⊥CD. 因此
DE⊂平面 A1CB，所以
DE∥平面 A1CB.
\item 由
AC⊥BC 且
DE∥BC，得
DE⊥AC，从而
DE⊥CD. 折叠保持折痕
DE 与边
AD 的夹角，所以
DE⊥A1D. 直线
A1D 与
DC 在
D 处相交，且都在平面
A1DC 内，故
DE⊥平面 A1DC. 因为
F∈CD，所以
A1F⊂平面 A1DC，从而
DE⊥A1F.
已知
A1F⊥CD. 过
F 作直线
ℓ∥DE. 直线
ℓ 和
CD 是平面
BCDE 内过
F 的两条相交直线，且
A1F⊥ℓ、
A1F⊥CD，所以
A1F⊥平面 BCDE. 由于
BE⊂平面 BCDE，故
A1F⊥BE.
\item 取
P，
Q 分别为
A1C，
A1B 的中点. 在三角形
A1CB 中，
PQ∥CB，而
DE∥CB，所以
PQ∥DE. 平面
DEQ 含有过
Q 且平行于
DE 的直线
PQ，故
P∈平面 DEQ，从而平面
DEQ=平面 DEP.
折叠保持长度，且
D 是
AC 的中点，所以
A1D=AD=DC. 因而三角形
A1DC 是以
A1C 为底边的等腰三角形；
P 是底边
A1C 的中点，所以
DP⊥A1C. 由上一步知
DE⊥平面 A1DC，故
DE⊥A1C. 又
PQ∥DE，所以
PQ⊥A1C. 直线
DP 与
PQ 在
P 处相交，且均在平面
DEP 内，因此
A1C⊥平面 DEP=平面 DEQ. 所以存在这样的点
Q，可取
Q 为
A1B 的中点.
\end{enumerate}
\end{solution}
