(1) 解方程 $\sqrt{2x^{2}-5}-\sqrt{5x-7}=0$. （限定在实数范围内） (2) 有 $5$ 组篮球队，每组 $6$ 队. 首先每组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一次），然后各组的冠军再进行单循环比赛. 问先后共比赛多少次？ (3) 求证等比数列的各项的对数组成等差数列. （这里所说的等比数列的各项都是正数） (4) 求使等式 $\sqrt{1-\sin^{2}\frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}$ 成立的 $x$ 值的范围. （$x$ 是 $0^{\circ}$ 到 $720^{\circ}$ 的角） (5) 如图，用钢珠测量机件上一小孔的直径. 所用钢珠的中心是 $O$，直径是 $12\text{ 毫米}$. 将钢珠放在这小孔上，测得钢珠上端 $D$ 到机件平面的距离 $CD$ 是 $9\text{ 毫米}$. 求这小孔的直径 $AB$ 的长. (6) 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是一正方形. $PA$ 与底面垂直. 已知 $PA$ 是 $3\text{ 厘米}$，$P$ 点到 $BC$ 的距离是 $5\text{ 厘米}$. 求 $PC$ 的长.

有一直圆柱，高是 $20\text{ 厘米}$，底面半径是 $5\text{ 厘米}$. 它的一个内接长方体的体积是 $800\text{ 立方厘米}$. 求这长方体的底面的长和宽.

从一船上看到在它的南 $30^{\circ}$ 东的海面上有一灯塔. 船以 $30\text{ 浬/小时}$ 的速度向正东南方向航行半小时后，看到这个灯塔在船的正西方. 问这时船与灯塔的距离是多少？（精确到 $0.1\text{ 浬}$）

要在墙上开一矩形的大玻璃窗，周长限定为 $6\text{ 米}$.

(1) 求以矩形的一条边长 $x$ 表示窗户的面积 $y$ 的函数式. (2) 求这函数图象的顶点的坐标，对称轴的方程. (3) 画出这函数的图象，并求出 $x$ 的允许值的范围.

已知方程 $2x^{2}-x\cdot4\sin\theta+3\cos\theta=0$ 的两个根相等，且 $\theta$ 为锐角，求 $\theta$ 和这个方程的两个根.

$a$ 是什么实数的时候，下列方程组的解是正数：