数迹
题目列表试卷列表
共找到 6 题
排序：
组题
本页 6 题去组卷
03解析几何★★☆☆☆
极坐标方程分别是 ρ=cos⁡θ\rho=\cos\theta 和 ρ=sin⁡θ\rho=\sin\theta 的两个圆的圆心距是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta、y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta 及 ρ2=x2+y2\rho^2=x^2+y^2，方程 ρ=cos⁡θ\rho=\cos\theta 可化为 x2+y2=ρ2=ρcos⁡θ=xx^2+y^2=\rho^2=\rho\cos\theta=x，即 (x−12)2+y2=14\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}. 它的圆心为 (12,0)\left(\frac{1}{2},0\right).
同理，方程 ρ=sin⁡θ\rho=\sin\theta 化为 x2+y2=yx^2+y^2=y，即 x2+(y−12)2=14x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}，圆心为 (0,12)\left(0,\frac{1}{2}\right). 所以圆心距为 (12)2+(−12)2=22\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}，故选 D. \end{solution}
A.
22
B.
2\sqrt{2}
C.
11
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

1992 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

查看答案和解析
08解析几何★★☆☆☆
直线
{x=t⋅sin⁡20∘+3,y=−t⋅cos⁡20∘\begin{cases} x=t\cdot \sin 20^{\circ}+3,\\ y=-t\cdot \cos 20^{\circ} \end{cases}
（tt 为参数）的倾斜角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 参数方程给出的方向向量为 (sin⁡20∘,−cos⁡20∘)\left(\sin20^{\circ},-\cos20^{\circ}\right)，所以直线斜率为 −cos⁡20∘sin⁡20∘=−cot⁡20∘=tan⁡110∘\frac{-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=-\cot20^{\circ}=\tan110^{\circ}. 由于倾斜角取 [0∘,180∘)[0^{\circ},180^{\circ}) 内的角，故倾斜角为 110∘110^{\circ}，选 C. \end{solution}
A.
20∘20^{\circ}
B.
70∘70^{\circ}
C.
110∘110^{\circ}
D.
160∘160^{\circ}

1992 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
10解析几何★★★☆☆
圆心在抛物线 y2=2xy^2=2x 上，且与 xx 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设圆心为 (u,v)(u,v)，半径为 rr. 由圆心在 y2=2xy^2=2x 上，得 v2=2uv^2=2u，即 u=v22⩾0u=\frac{v^2}{2}\geqslant0. 该抛物线的准线为 x=−12x=-\frac12. 圆与 xx 轴相切，故 r=∣v∣r=|v|；圆与准线相切，故 r=∣u+12∣=u+12r=\left|u+\frac12\right|=u+\frac12. 于是 ∣v∣=v22+12|v|=\frac{v^2}{2}+\frac12. 令 s=∣v∣s=|v|，则 s=s22+12s=\frac{s^2}{2}+\frac12，即 (s−1)2=0(s-1)^2=0，所以 s=1s=1、u=12u=\frac12、r=1r=1.
因此圆心可能为 (12,1)\left(\frac12,1\right) 或 (12,−1)\left(\frac12,-1\right). 前者的方程为 (x−12)2+(y−1)2=1\left(x-\frac12\right)^2+(y-1)^2=1，化为 x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac14=0，正是选项 D；后者关于 xx 轴对称且不在给出的选项中. 故选 D. \end{solution}
A.
x2+y2−x−2y−14=0x^2+y^2-x-2y-\frac{1}{4}=0
B.
x2+y2+x−2y+1=0x^2+y^2+x-2y+1=0
C.
x2+y2−x−2y+1=0x^2+y^2-x-2y+1=0
D.
x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0

1992 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
13解析几何★★★☆☆
已知直线 l1l_1 和 l2l_2 夹角的平分线为 y=xy=x，如果 l1l_1 的方程是 ax+by+c=0ax+by+c=0（ab>0ab>0），那么 l2l_2 的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 对称会交换坐标 xx，yy. 因而直线 l1:ax+by+c=0l_1:ax+by+c=0 的对称直线为 l2:ay+bx+c=0l_2:ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0bx+ay+c=0. 这两条直线关于 y=xy=x 对称，所以 y=xy=x 是它们的一条夹角平分线.
也可直接验证：两直线的法向量长度同为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，而点到两直线的距离相等时满足 ∣ax+by+c∣=∣bx+ay+c∣\left|ax+by+c\right|=\left|bx+ay+c\right|. 其中一个等距轨迹分支给出 (a−b)(x−y)=0(a-b)(x-y)=0. 两直线不重合时 a≠ba\neq b，故该分支即为 y=xy=x. 因此选项 A 正确，故选 A. \end{solution}
A.
bx+ay+c=0bx+ay+c=0
B.
ax−by+c=0ax-by+c=0
C.
bx+ay−c=0bx+ay-c=0
D.
bx−ay+c=0bx-ay+c=0

1992 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

查看答案和解析
22解析几何★★☆☆☆
焦点为 F1(−2,0)F_1(-2,0) 和 F2(6,0)F_2(6,0)，离心率为 22 的双曲线的方程是______.
\begin{answer} (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1 \end{answer}
\begin{solution} 两焦点的中点为 (2,0)(2,0)，焦半距为 c=4c=4. 由离心率 e=ca=2e=\frac{c}{a}=2，得 a=2a=2. 双曲线满足 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 b2=16−4=12b^2=16-4=12. 由于焦点在 xx 轴上，方程为 (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 填空题

查看答案和解析
28解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），AA，BB 是椭圆上的两点，线段 ABAB 的垂直平分线与 xx 轴相交于点 P(x0,0)P(x_0,0). 证明：−a2−b2a<x0<a2−b2a-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}.
\begin{solution} 设 A=(x1,y1)A=(x_1,y_1)，B=(x2,y2)B=(x_2,y_2). 若 x1=x2x_1=x_2，则由椭圆方程可知两个不同点只能关于 xx 轴对称，此时 ABAB 的垂直平分线就是 xx 轴，不会与其交于唯一的点 PP，故 x1≠x2x_1\neq x_2. 由两点在椭圆上，得 yi2=b2(1−xi2a2)y_i^2=b^2\left(1-\frac{x_i^2}{a^2}\right)，从而 xi2+yi2=b2+a2−b2a2xi2x_i^2+y_i^2=b^2+\frac{a^2-b^2}{a^2}x_i^2，（i=1,2i=1,2）.
点 PP 在线段 ABAB 的垂直平分线上，所以 PA=PBPA=PB. 平方并消去 x02x_0^2，得 2x0(x2−x1)=x22+y22−x12−y12=a2−b2a2(x2−x1)(x2+x1)2x_0(x_2-x_1)=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}(x_2-x_1)(x_2+x_1). 因为 x1≠x2x_1\neq x_2，所以 x0=a2−b22a2(x1+x2)x_0=\frac{a^2-b^2}{2a^2}(x_1+x_2).
又由椭圆方程 ∣x1∣⩽a|x_1|\leqslant a，∣x2∣⩽a|x_2|\leqslant a，所以 ∣x1+x2∣⩽2a|x_1+x_2|\leqslant2a，进而 ∣x0∣⩽a2−b2a|x_0|\leqslant\frac{a^2-b^2}{a}. 若取等号，则必须有 x1=x2=ax_1=x_2=a 或 x1=x2=−ax_1=x_2=-a，此时 A=BA=B，与两点为不同点矛盾. 因此严格成立，即 −a2−b2a<x0<a2−b2a-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 28 题 · 解答题

查看答案和解析