如图，图中曲线是幂函数 $y=x^n$ 在第一象限的图象. 已知 $n$ 取 $\pm 2$，$\pm \frac{1}{2}$ 四个值，则相应于曲线 $C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$ 的 $n$ 依次为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 四条曲线都经过 $(1,1)$. 取图中 $x>1$ 的部分，则 $x^2>x^{\frac{1}{2}}>x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}$. 因此从上到下，曲线依次对应指数 $2$、$\frac12$、$-\frac12$、$-2$. 这与图中的 $C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$ 依次相符，故选 B. \end{solution}

函数 $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的反函数（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 令 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2$. 有 $f(-x)=-f(x)$，所以 $f$ 是奇函数；又 $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}2>0$，所以 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增. 同时 $f(x)$ 在 $x\to+\infty$ 时趋于 $+\infty$，在 $x\to-\infty$ 时趋于 $-\infty$，故它的值域为 $\mathbf{R}$，反函数存在.

设反函数为 $g=f^{-1}$. 由 $f(-x)=-f(x)$，对任意 $y$ 有 $g(-y)=-g(y)$，所以 $g$ 是奇函数；严格递增函数的反函数仍严格递增，因此 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，故选 C. \end{solution}

如果函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t)=f(2-t)$，那么（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 展开两边，得 $f(2+t)=t^2+(4+b)t+(4+2b+c)$， $f(2-t)=t^2-(4+b)t+(4+2b+c)$. 题设要求它们对任意实数 $t$ 相等，所以一次项系数必须相等，$4+b=-(4+b)$，从而 $b=-4$. 因此 $f(x)=x^2-4x+c=(x-2)^2+c$.

于是 $f(2)=c$、$f(1)=c+1$、$f(4)=c+4$，所以 $f(2)<f(1)<f(4)$，故选 A. \end{solution}