在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 四棱锥只有四个侧面，所以直角三角形的个数不可能超过 $4$. 下面验证上界可以达到：取 $A=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$C=(1,1,0)$、$D=(0,1,0)$，并取顶点 $S=(0,0,h)$，其中 $h>0$. 则 $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=0$、$\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AD}=0$，所以侧面 $SAB$、$SAD$ 都是直角三角形；又 $\overrightarrow{BS}=(-1,0,h)$、$\overrightarrow{BC}=(0,1,0)$，以及 $\overrightarrow{DS}=(0,-1,h)$、$\overrightarrow{DC}=(1,0,0)$，两组内积都为零，所以侧面 $SBC$、$SCD$ 也都是直角三角形. 因而最大个数为 $4$，故选 D. \end{solution}

如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 和 $N$ 分别为 $A_1B_1$ 和 $BB_1$ 的中点，那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 建立直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$C=(1,1,0)$、$A_1=(0,0,1)$. 因为 $M$，$N$ 分别为中点，所以 $M=\left(\frac12,0,1\right)$、$N=\left(1,0,\frac12\right)$. 于是 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,1\right)$、$\overrightarrow{CN}=\left(0,-1,\frac12\right)$.

两向量的内积为 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac12$，且 $\lvert\overrightarrow{AM}\rvert=\lvert\overrightarrow{CN}\rvert=\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}{2}$. 因此两直线所成锐角的余弦为 $\frac{\left|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}\right|}{\lvert\overrightarrow{AM}\rvert\lvert\overrightarrow{CN}\rvert}=\frac{\frac12}{\frac54}=\frac25$，故选 D. \end{solution}

长方体的全面积为 $11$，$12$ 条棱长度之和为 $24$，则这个长方体的一条对角线长为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设长方体的三条棱长为 $a$，$b$，$c>0$. 全面积为 $2(ab+bc+ca)=11$，所以 $ab+bc+ca=\frac{11}{2}$. 由于每种棱长各有四条，$12$ 条棱长度之和给出 $4(a+b+c)=24$，即 $a+b+c=6$.

长方体的空间对角线 $l$ 满足 $l^2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=6^2-2\cdot\frac{11}{2}=25$. 因为 $l>0$，所以 $l=5$，故选 C. \end{solution}

已知：两条异面直线 $a$，$b$ 所成的角为 $\theta$，它们的公垂线段 $AA_1$ 的长度为 $d$. 在直线 $a$，$b$ 上分别取点 $E$，$F$，设 $A_1E=m$，$AF=n$. 求证：$EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos\theta}$.

\begin{solution} 由线段 $A_1E$ 和 $AF$ 分别沿两直线，取向量分解 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{A_1E}$. 因为 $AA_1$ 是两直线的公垂线段，$\overrightarrow{A_1A}$ 同时垂直于 $\overrightarrow{A_1E}$ 和 $\overrightarrow{AF}$，且 $|\overrightarrow{A_1A}|=d$，$|\overrightarrow{A_1E}|=m$，$|\overrightarrow{AF}|=n$. 所以 $EF^2=d^2+m^2+n^2-2\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}$. 两直线所成角为 $\theta$，而两条有向射线的夹角可能为 $\theta$ 或 $\pi-\theta$，故 $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}=\pm mn\cos\theta$. 于是 $EF^2=d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta$，从而 $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta}$. \end{solution}