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02三角函数★☆☆☆☆
如果函数 y=sin⁡(ωx)cos⁡(ωx)y=\sin(\omega x)\cos(\omega x) 的最小正周期是 4π4\pi，那么常数 ω\omega 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由二倍角公式，sin⁡(ωx)cos⁡(ωx)=12sin⁡(2ωx)\sin(\omega x)\cos(\omega x)=\frac{1}{2}\sin(2\omega x). 当 ω≠0\omega\neq0 时，sin⁡(2ωx)\sin(2\omega x) 的最小正周期为 2π∣2ω∣=π∣ω∣\frac{2\pi}{|2\omega|}=\frac{\pi}{|\omega|}. 因此 π∣ω∣=4π\frac{\pi}{|\omega|}=4\pi，得 ∣ω∣=14|\omega|=\frac{1}{4}. 按选项中的通常约定取正的参数值，ω=14\omega=\frac{1}{4}，故选 D. \end{solution}
A.
44
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

1992 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
sin⁡4xcos⁡5x=−cos⁡4xsin⁡5x\sin 4x\cos 5x=-\cos 4x\sin 5x 的一个解是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将右边移到左边，并用正弦加法公式，得 sin⁡4xcos⁡5x+cos⁡4xsin⁡5x=sin⁡(4x+5x)=sin⁡9x=0\sin4x\cos5x+\cos4x\sin5x=\sin(4x+5x)=\sin9x=0. 因而 9x=180∘k9x=180^{\circ}k，即 x=20∘kx=20^{\circ}k，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 四个选项中只有 20∘20^{\circ} 对应整数 k=1k=1，故选 B. \end{solution}
A.
10∘10^{\circ}
B.
20∘20^{\circ}
C.
50∘50^{\circ}
D.
70∘70^{\circ}

1992 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12三角函数★★☆☆☆
若 0<a<10<a<1，在 [0,2π][0,2\pi] 上满足 sin⁡x⩾a\sin x\geqslant a 的 xx 的范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 令 α=arcsin⁡a\alpha=\arcsin a. 因为 0<a<10<a<1，所以 0<α<π20<\alpha<\frac\pi2，且在 [0,π][0,\pi] 上有 sin⁡α=a\sin\alpha=a、sin⁡(π−α)=a\sin(\pi-\alpha)=a. 正弦函数在 [0,π][0,\pi] 上先增后减，故 sin⁡x⩾a\sin x\geqslant a 等价于 α⩽x⩽π−α\alpha\leqslant x\leqslant\pi-\alpha. 在 [π,2π][\pi,2\pi] 上 sin⁡x⩽0<a\sin x\leqslant0<a，没有新的解. 因而 x∈[arcsin⁡a,π−arcsin⁡a]x\in[\arcsin a,\pi-\arcsin a]，故选 B. \end{solution}
A.
[0,arcsin⁡a][0,\arcsin a]
B.
[arcsin⁡a,π−arcsin⁡a][\arcsin a,\pi-\arcsin a]
C.
[π−arcsin⁡a,π][\pi-\arcsin a,\pi]
D.
[arcsin⁡a,π2+arcsin⁡a]\left[\arcsin a,\frac{\pi}{2}+\arcsin a\right]

1992 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20三角函数★★☆☆☆
sin⁡15∘sin⁡75∘\sin 15^{\circ}\sin 75^{\circ} 的值是______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}
\begin{solution} 由积化和差公式，sin⁡15∘sin⁡75∘=12(cos⁡60∘−cos⁡90∘)=12(12−0)=14\sin15^{\circ}\sin75^{\circ}=\frac{1}{2}\bigl(\cos60^{\circ}-\cos90^{\circ}\bigr)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{4}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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25三角函数★★★☆☆
已知 π2<β<α<3π4\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{4}，cos⁡(α−β)=1213\cos(\alpha-\beta)=\frac{12}{13}，sin⁡(α+β)=−35\sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}. 求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值.
\begin{solution} 令 δ=α−β\delta=\alpha-\beta，则 0<δ<π40<\delta<\frac{\pi}{4}，所以 sin⁡δ=513\sin\delta=\frac{5}{13}. 又 π<α+β<3π2\pi<\alpha+\beta<\frac{3\pi}{2}，且 sin⁡(α+β)=−35\sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}，故 cos⁡(α+β)=−45\cos(\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}. 于是 sin⁡2α=sin⁡((α+β)+(α−β))=sin⁡(α+β)cos⁡δ+cos⁡(α+β)sin⁡δ=−35⋅1213−45⋅513=−5665\sin2\alpha=\sin\bigl((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\bigr)=\sin(\alpha+\beta)\cos\delta+\cos(\alpha+\beta)\sin\delta= -\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}-\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}=-\frac{56}{65}. \end{solution}

1992 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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