已知某等差数列共有 $10$ 项，其奇数项之和为 $15$，偶数项之和为 $30$，则其公差为（ ）

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆准“正三棱锥”形的展品，其中第$1$堆只有$1$层，就一个球；第$2$，$3$，$4$，$\cdots$堆最底层（第$1$层）分别按图示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第$n$堆第$n$层就放一个乒乓球，以 $f(n)$ 表示第 $n$ 堆的乒乓球总数，则 $f(3)=\underline{\hspace{2em}}$；$f(n)=\underline{\hspace{2em}}$. （答案用 $n$ 表示）

已知公比为 $q$（$0 < q < 1$）的无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 各项的和为 $9$，无穷等比数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 各项的和为 $\frac{81}{5}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 和公比 $q$； (2) 对给定的 $k$（$k = 1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$），设 $T^{(k)}$ 是首项为 $a_k$，公差为 $2a_k - 1$ 的等差数列，求 $T^{(2)}$ 的前 $10$ 项之和； (3) 设 $b_{i}$ 为数列 $T^{(i)}$ 的第 $i$ 项，$S_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n}$，求 $S_{n}$，并求正整数 $m$（$m > 1$），使得 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{m}}$ 存在且不等于零.

$A$ 是由定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：

① 对任意的 $x \in [1,2]$，都有 $\varphi(2x) \in (1,2)$； ② 存在常数 $L$（$0 < L < 1$），使得对任意的 $x_1$，$x_2 \in [1,2]$，都有 $|\varphi(2x_1) - \varphi(2x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|$.

(1) 设 $\varphi(x) = \sqrt[3]{1 + x}$，$x \in [2,4]$，证明：$\varphi(x) \in A$； (2) 设 $\varphi(x) \in A$，如果存在 $x_0 \in (1,2)$，使得 $x_0 = \varphi(2x_0)$，那么这样的 $x_0$ 是唯一的； (3) 设 $\varphi(x) \in A$，任取 $x_1 \in (1,2)$，令 $x_n = \varphi(2x_{n-1})$，$n = 2$，$3$，$\cdots$，证明：给定正整数 $k$，对任意的正整数 $p$，成立不等式 $|x_{k+p} - x_k| \leqslant \frac{L^{k-1}}{1 - L} |x_2 - x_1|$.