已知函数 $f(x) = \sin x + \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 的最大值和最小值； (3) 若 $f(\alpha)=\frac{3}{4}$，求 $\sin 2\alpha$ 的值.